1、第一章立体几何初步教材与教法分析7第一章：“立体几何初步”教材与教法分析房山区教进修学校中学数学教研室 张吉一、课标内容与要求1. 立体几何初步（约18课时） （1）空间几何体 利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图。 通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。 完成实习作业，如画出某些建筑
2、的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。 （2）点、线、面之间的位置关系 借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。 定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，
3、那么这两个角相等或互补。 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。 通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理。 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。 通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明。 一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。 两个平面平行，则任意一个平面与这
4、两个平面相交所得的交线相互平行。 垂直于同一个平面的两条直线平行。 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 2. 平面解析几何初步（约18课时） （1）直线与方程 在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。 理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。 能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。 探索并掌握
5、两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。 （2）圆与方程 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。 （3）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。 （4）空间直角坐标系 通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。 通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。二、北京高考说明要求考试内容要求层次ABC立体几何初步空
6、间几何体柱、锥、台、球及其简单组合体三视图斜二侧法画简单空间图形的直观图球、棱柱、棱锥的表面积和体积 点、直线、平面间的位置关系空间线、面的位置关系公理l、公理2、公理3、公理4、定理*线、面平行或垂直的判定线、面平行或垂直的性质三、地位和作用从数学科学来说，顺序是先研究平面再研究空间。而我们初中学习了平面几何知识，接着研究立体几何，使学生对空间图形的认识在初中几何的基础上能适当地上升到理性的层面。本部分内容在是中学数学中起着承上启下的作用。从数学教学上来说，学生因为有了平面几何、三角函数等相关知识的储备，同时因为有了半年多时间的高中数学思维能力的培养，学生的逻辑思维能力有了较大提高。因此学习
7、这部分内容较以前会更容易。从高考的角度来说，本章是高中数学的重点内容，属主干知识。因此这部分内容一定要教好、教活。四、课标教材与大纲教材的比较（一）内容的比较全日制普通高级中学教科书（实验修订本必修）人教B数学2第九章 直线、平面、简单几何体 一 空间直线和平面91 平面92 空间直线93 直线和平面平行的判定和性质94 直线和平面垂直的判定和性质95 两个平面平行的判定和性质96 两个平面垂直的判定和性质97 棱柱98 棱锥研究性学习课题：多面体欧拉公式的发现99 球小结与复习第一章 立体几何初步11 空间几何体111构成空间几何体的基本元素112棱柱、棱锥和棱台的结构特征113圆柱、圆锥和
8、圆台和球的结构特征114投影与直观图115三视图116棱柱、棱锥、棱台和球的表面积117棱柱、棱锥、棱台和球的体积实习作业12 点、直线、平面之间的位置关系121平面的基本性质与推论122空间中的平行关系123空间中的垂直关系本章小结阅读与欣赏1结构上从整体到局部、由具体到抽象。与大纲教材中立体几何内容体系比较，必修2立体几何内容体系结构有重大调整。大纲教材：优点：从点、线、面到几何体，按公理化体系、知识的逻辑关系安排内容，结构严谨，“数学味”浓.缺点：与学生的认知规律、思维方式有矛盾，是造成学立体几何困难的原因之一.课标教材：从空间几何体整体认识到点、直线和平面位置及其度量的认识。优点：关注
9、学生思维过程，符合学生的认知规律，它有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何直观能力，为合情推理逻辑推理创造条件；体现从具体到抽象，从感性到理性的认识规律。缺点：逻辑性的减弱。2.螺旋上升，分层递进，逐步到位在整个课程体系中的分3个层次安排：1必修2：立体几何初步；2必选21：空间向量与立体几何（理科）3任选：4-1几何证明选讲（理科（文科只学必修2的内容）在知识的处理上分四个层次：第一层次 对几何体的认识依赖于直观感知，不作严格推理论证要求。如在学习棱柱概念时，由于还没有“平面与平面平行”的严格定义，教学中要多提供学生身边熟悉的具有“平面与平面平行”关系的事物，如：长方体的对面
10、，教室里的屋顶和地面，教室里相对的两个墙面等，让学生去直观感受.第二层次 合情推理以长方体为主要载体，对图形进行观察、操作、实验，适当进行说理训练。第三层次 严格的推理证明线面平行、垂直的关系。第四层次 度量计算通过表面积和体积的计算认识几何体;通过角度和距离的计算认识几何体3.内容上的变化（1）增加了一些内容：平行投影、中心投影，三视图，台体的表面积和体积。 增加这部分内容的主要目的一是和义教接轨，二是进一步认识空间图形，通过三视图及空间几何体与其三视图的互相转化，对空间图形有比较完整的认识，培养和发展学生的空间想像能力，几何直观能力，更全面地把握空间几何体。（2）除新增内容外，其它内容没有
11、超出大纲教材。大纲教材中的“异面直线所成的角”、“ 直线与平面所成的角”、“三垂线定理及其逆定理”、“二面角及其平面角”等内容被安排在课标教材的选修2-1“空间向量与立体几何”中。 “多面体与欧拉公式” 内容被安排在选修系列3-5欧拉公式与闭曲面分类。（3）对“点、线、面之间的位置关系”,课标教材重点放在定性研究平行与垂直的位置关系上，角与距离在必修2中不作要求，移至选修2-1中。线、面平行、垂直的判定定理只要求操作确认，不作证明，严格的证明被移到空间向量与立体几何之中，体现了分步到位，螺旋上升的设计理念。（二）总体要求的比较旧教材教学要求新教材教学要求直线和平面使学生掌握平面的基本性质，空间
12、两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系，以及它们所成的角与距离等概念；使学生能运用上述概念，有关直线和直线、直线和平面、平面与平面的位置关系的平行、垂直关系的性质和判定，进行论证和解决有关的实际问题，以进一步发展学生的逻辑推理能力、空间想象能力，以及有根有据，实事求是等科学态度的品质。空间几何体认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能画出简单空间图形的三视图，会用斜二测法画出它们的直观图。 了解空间图形的不同表示形式（中心投影及平行投影），了解球、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆式）。使学生掌握斜二测画法，认识数学来源于实践，通过空间图形的各种位置
13、关系之间的内在联系的教学，培养学生的辩证唯物主义观点 点、直线、平面之间的位置关系认识空间中点、直线、平面之间的位置关系；通过对大量图形的观察、实验、操作和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用空间几何的数学语言表述几何对象的位置关系，体验公理化思想，培养逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题。 多面体和旋转体旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球、球缺）、球冠的有关概念，掌握它们的性质，能推导出柱、锥、台、球、球冠、球缺的表面积计算公式和体积，掌握用斜二测画出棱柱、棱锥、棱台、用正等测画出圆柱、圆锥、圆台的直观图的方法。 使学生能运用这些知识解决有关的
14、实际问题，培养学生逻辑思维能力、空间想象能力。从而提高分析问题和解决问题的能力，提高学生学习的积极性。 了解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘；了解空间向量的基本定理，掌握空间向量的坐标运算。掌握空间向量的数量积及其坐标表示，理解直线的方向向量与平面的法向量。能用向量方法证明有关定理及解决夹角问题。 五、本章教学要把握的四个层次本章内容分四个层次，它们之间是递进关关系：内容递进的第一个层次：通过对丰富的空间几何体的整体观察，帮助学生认识其结构特征，运用这些特征描述现实生活中的一些简单物体的结构。从整体到部分（即分析）的研究程序；从复杂的几何体到简单的几何体；两个基本问题：结构特征和
15、表示方法内容递进的第二个层次：从局部回到整体，通过计算度量对空间几何体的表面积和体积进行定量的研究。内容递进的第三个层次：再以空间几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认，归纳出一些判定定理与性质定理。并对性质定理加以逻辑证明，至于判定定理，在选修系列2中，用向量的方法加以严格的证明。要求学生能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。研究的载体：长方体空间的基本模型就是长方体(微型三维空间），认识清楚了其上的点线、线线、线面，基本上可以解决空间中一些基本问题。长方体作为模型，贯穿于整个的学习之中要象重视单位圆那样重视长方体。研究的中心问题：第一，空间的点、直线、平面具
16、有怎样的位置关系？第二，如何用数学语言来表述和研究这些位置关系？内容递进的第四个层次：利用向量来解决立体几何问题是学习空间向量这部分内容的重点，也是立体几何学习的第四个层次。要让学生体会向量的思想方法，以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系。在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题。六、课标对立体几何的要求1几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。2人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。3三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语
17、言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。4在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；5再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；6能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证。7学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。七、初高中衔接点义教课标中要本节一些知识已经学过一部分，主要要求如下： 1.会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型； 2.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型； 3.了解基本几
18、何体与其三视图、展开图之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）；4.通过实例了解中心投影和平行投影； 5.掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据。6本节要用到反证法，义教课标要求：通过实例，体会反证法的含义。7原教材大纲：进一步熟悉反证法，会用反证法证明简单的问题。8人教B新课标：在必修2没有要求，但教材多次使用；将在1-2，2-2中专门学习。八、本章的设计意图本章的立意是，先通过直观认识空间几何体的性质，然后建立空间图形性质之间的逻辑关系。直观是通过观察、分析来认识几何体的特征，形成不同的几何体的概念。并非是停留在 “幼儿识图”的水平。九、本章教学内
19、容安排本章教学时间约需18个小时，具本分配如下（仅供参考）：节次内容课时11空间几何体9课时111构成空间几何体的基本元素1课时112棱柱、棱锥和棱台的结构特征2课时113圆柱、圆锥和圆台和球的结构特征1课时114投影与直观图2课时115三视图1课时116棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1课时117棱柱、棱锥、棱台和球的体积1课时12点、线、面之间的位置关系7课时121平面的基本性质与推论1课时122空间中的平行关系3课时123空间中的垂直关系3课时小结与复习1课时机动1课时十、本章教学中应注意的问题1.认真研究课标和教材，明确本章的学习目标：培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语
20、言进行交流的能力以及几何直观能力。2.注意几何教育功能的全面性，即合情推理与逻辑推理并重。3. 注意与义务教育阶段课程“空间与图形”部分的衔接。4.控制难度：理解“初步”的含义，删掉的知识没必要补充。本章的学习不能建立在严格的逻辑推理的基础上，这与以往教科书有相当大的区别，在实际教学中要充分注意到这一点。5.数学思想方法的渗透和应用：直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算；化归与转化的思想（平面与空间的转化）；变换等。6.力求解题规范化定理体糸化： 4个公理、9个定理；表达数学化：借用数学记号，不用或少用汉字；过程简练化：（用立几定（公）理）详写，用平几定理从简。7.合理分配课时 ，注意螺旋上
21、升，做到“整体-局部-整体”。十一、本章教学建议分清层次，循序渐近要求恰当，不要补充。角的度量问题将在空间向量与立体几何中作深入研究三垂线定理的处理P36页例3是直线与平面垂直判定定理的一个应用，也称“三垂线定理”，是证明线、线垂直的一个典型范例。关于反证法，根据课程标准，教材不正面介绍反证法。但可以渗透反证法的思想，不要新老教材一起上,没有必要”越位”。重视类比，合情推理。平面与空间的类比；公理；等角定理。4充分展示立体几何图形的美。让学生欣赏图形的美；让学生感受图形的美；通过充分体验几何图形的美，激起对数学学习的热情。5鼓励学生积极参与，尽量让学生自己发现结论。6教学方法要多样化。7.把教
22、材和教参提供给我们的教学资源利用好。十二、分节分析 11 空间几何体（9课时） 利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图。 通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。 完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。 了解球、棱柱、棱锥、台的表
23、面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。教材是通过“物体占有空间的部分”来描述几何体的，说明几何体已是抽象的几何概念。在小学和初中，主要是通过几何体具有“长、宽、高”度（三个度量）来理解几何体。这一节，将通过静态和动态观察，认识各种不同几何体的特征。1.1.1空间几何体的基本元素（1课时）1教学目标（1）以长方体为载体介绍构成几何体的基本元素:点、线、面。（2）以运动的观点直观感知几何体的结构，点动成线、线动成面、面动成体。（3）以长方体为载体, 直观认识空间相关概念: 异面直线（没出概念），直线和平面平行，直线与平面垂直，点到平面的距离，两个平面平行，两个平面之间的距离，两个平面互相垂直.2
24、内容分析（1）长方体的有关概念：长方体、长方体的面、长方体的棱、长方体的顶点。（2）构成几何体的基本要素：点、线、面。（3）平面的表示：一个希腊字母；四个大写字母、两个小写字母。（4）几种线面关系的定义：直线与平面平行：直线与平面没有公共点。直线与平面垂直：直线与平面内两公共相交直线垂直时，直线与平面垂直。点到平面的距离：点到平面的垂线段的长度。两平平行：两平面没有公共点。两平垂直：两平面相交，且一个平面经过另一个平面的一条垂线时，就说这两个平面垂直。3本节重点、难点（1）重点：从运动的观点认识点、线、面、体之间的生成关系和位置关系。（2）难点：通过立体几何的直观图观察其基本元素间的关系以及注
25、意到空间中存在既不平行，也不相交的直线。4教学建议（1）从静态的观点，观察几何体，把一个几何体分解为点、线（段）、面（片）。应注意，这里的线，应包括曲线；面应包括曲面。建议增加观察柱面的例子。应向学生指出，在几何体中，线线相交确定交点的位置，面面相交确定交线的位置。（2）从动态的方面观察，几何体可看作面运动的轨迹。在直观几何中，困难是理解几何体的高度和线线、线面、面面之间的距离。教材是以长方体为例进一步感知距离和高这两个概念的。在学习点、线、面的逻辑关系时, 再给出严格的定义。（3）理解空间点、线、面位置关系的关键，是理解异面直线的概念。在直观立体几何中，应把它作为重点考察对象，但由于课标对异
26、面直线不作要求，教材编写时，只是提及，没有作细致的考察。建议对异面直线作认真的考察，强化学生对异面直线的理解。5例题分析112 棱柱、棱锥和棱台的结构特征（2课时）1教学目标：（1）认识棱柱、棱锥、棱台及简单组合体的结构特征，并能用这些特征描述现实生活中简单的物体结构。（2）理解棱柱、棱锥、棱台的相关概念。（3）了解棱柱、棱锥、棱台的不同表示形式。（4）对棱柱、棱锥、棱台能够进行一些基本量的计算。2内容分析（1）概念：几何体；多面体；凸多面体；截面（2）棱柱及相关概念：棱柱；侧面；顶点；侧棱；底面；高；斜棱柱；直棱柱；正棱柱。（3）棱锥及相关概念：棱锥；侧面；顶点；侧棱；底面；高；正棱锥。（4
27、）棱台及相关概念：棱台；侧面；顶点；侧棱；底面；高；正棱台。（5）棱柱、棱锥、棱台的性质及它们之间的关系。（6）平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体的特征性质的区别。3本节重点、难点（1）重点：棱柱、棱锥、棱台的定义；棱柱、棱锥、棱台的性质及它们之间的关系。（2）难点：几种概念相近的几何体（平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体）的特征性质的区别。4教学建议（1）建议先复习集合的特征性质描述法。在此基础上引导学生探索各种几何体的特征性质。引导学生会积极地参加探索，找出各种几何体的特征性质。通过探索过程，不仅能使学生更深刻地理解各种几何体的定义，而且也会加深学生对集合性
28、质描述法的理解（2）用各种几何体的包含关系，理解特征性质之间的关系。（3）课标强调几何学习的直观性，强调实物、模型对几何学习的作用。因此对柱、锥、台、球的学习需要从实物图形的感知出发，抽象出其本质特征，来建立多面体的概念，进一步研究它们的结构和分类。知道棱（柱、锥、台）的底面、侧棱、侧面、顶点的意义。（4）了解简单组合体的结构特征。（5）联系学生已有的知识，在原有知识基础上有所提高。（6）课外可让学生动手做一做，可以直接感受空间几何图体的特征。如建议学生用纸板或游戏棒或细铁丝（作骨架）做出一些几何体的模型（特别是斜棱柱）。（7）空间几何体的性质不必过分挖掘（几个直角三角形；几个直角梯形）。5例
29、题分析113圆柱、圆锥和圆台和球1教学内容理解柱、锥、台、球的集合特征。了解圆柱、圆锥、圆台的底面、母线、侧面、轴的意义。了解侧面展开图与侧之间的关系。能进行圆柱、圆锥、圆台的一些基本量的计算。理解球截面性质。了解简单组合体的结构特征。 2内容分析（1）圆柱的集合特征；有关概念（底面、母线、侧面、轴、高、轴截面）；基本量的计算。（2）圆锥的集合特征；有关概念（底面、母线、侧面、轴、高、轴截面）；基本量的计算。（3）圆台的集合特征；有关概念（底面、母线、侧面、轴、高、轴截面）；基本量的计算。（4）球的集合特征；有关概念（球心、半径、直径、大圆、小圆、球面距离）；基本量的计算。（5）有关地球的运算
30、（纬线长、球面距离）。（6）组合体的概念。3本节重点、难点（1）重点：对旋转体概念的再认识。（2）难点：球面距离及其应用；组合体的分解与合成。4教法建议（1）引导学生会积极地参加探索，找出各种几何体的特征性质。通过探索过程，不仅能使学生更深刻地理解各种几何体的定义，而且也会加深学生对集合性质描述法的理解。（2）分别引导学生探讨圆棱、圆锥和圆台的特征性质，给出描述性定义。（3）老师尽可能提供实物模型，图片，或用电脑演示等；让学生在感受大量空间实物及模型的基础上，概括出柱、锥、台、球的结构特征；知道圆（柱、锥、台）的母线、侧面、轴的意义。了解简单组合体的结构特征。（4）课标强调几何学习的直观性，强调实物、模型对几何学习的作用。因此对圆柱、圆锥、圆台、球的学习需要从实物图形的
