1、几何画板教程4变换第四章 用变换菜单作图观察下图，不难看出，这个图形都是由一些基本图形经过旋转变换得到的， 求下面图形中阴影部分的面积，会涉及到轴对称变换 数学中所谓“变换”，是指从一个图形（或表达式）到另一个图形（或表达式）的演变，在几何画板中，研究的是图形的演变。我们能对图形进行平移、旋转、缩放、反射、迭代等变换。几何画板中实现图形的变换，有两种方法，一种是前面学习过的变换工具，另一种方法就是现在介绍的变换菜单。一、学习目标1、会按“固定的角度”并或按“标记的角度”旋转对象;2、会在极坐标系或直角坐标系中平移对象，会按“标记”平移对象；3、会基于标记的中心按“固定比例”或按“标记比例”缩放
2、对象；4、会基于“标记的镜面”（对称轴）作轴对称；5、会用“迭代”或“深度迭代”画图。说明：“变换”菜单中的命令项是否可用，取决于工作区中选中的对象是否符合使用该菜单项的前提条件。另外，对于“旋转”、“缩放”，要基于一个标记中心，对于“反射”，要先“标记镜面”。如果要按可变的量进行变换，还要标记相关的量。不过，在4.0版中，还有一些比较另类的用法，即使你事先没有标记中心，仍然可以选中对象，在弹出“旋转”或“缩放”对话框后，再在工作区中单击一点，此点可以被标记为中心，这种方法也可以用于改变事先标记好的中心；同样，标记角可以在弹出旋转对话框后通过单击工作区中的一个角度值来实现；标记距离就比较特殊，
3、如果事先没有标记，在弹出平移对话框后也可以单击工作区中的一个或两个距离值来标记；标记比可以在出现“缩放”对话框后能过单击工作区中的一个比值、无单位的参数、两条线段（单击的顺序会影响比值）等方法来立即标记一个比。每个菜单项的详细使用方法见附录，在这里我们将以一些简单的实例来说明各菜单项的使用方法二、功能范例（一）旋转对象例1 画一个正方形运行结果：画一个正方形，拖动任一顶点改变边长或改变位置，都能动态地保持图形是一个正方形。基本思路：本例将学习按固定的角度来旋转对象，1、画一条线段，用来做正方形的一边；2、双击左端点，标记为中心，选中线段和右端点，绕标记的中心旋转900（逆时针方向），得第二条边
4、；3、双击第一条线段的右端点，标记为中心，选择第一条线段和它的左端点，绕标记的中心旋转900（顺时针方向），得第三条边；4、连结出第四条边。操作步骤：1、画线段AB。2、用选择工具双击点A，点A被标记为中心。3、用选择工具选取点B和线段AB，由菜单“变换”-“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中作如图1的设置。图14、双击点B，标记新的中心。5、用选择工具选取点A和线段AB，由菜单“变换”-“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中作如图2的设置。图26、连结上方两个顶点得第四边。拓展应用：1、本例的方法可以用来作任意的正多边形，只要计算出正多边形的内角，旋转时按内角度数进行即可，但这并不是最方便的方法，
5、具体请参阅深度迭代画正多边形。2、并不是每次用正方形都要从头来画，事实上可以把这个画图的过程创建成一个自定义工具，请参考相关的章节。3、画正方形的方法比较多，本例介绍的是较为简便的一种，其余方法请自行尝试。例2 中心对称运行结果：拖动点F，使DEF从00到1800变化，中间结果最后结果基本思路：本例将在前面学习的基础上，学习“按标记的角”旋转对象，同时能通过改变角的大小来动态演示对象的旋转过程。1、为了方便观察，连结对称中心和各关键点间的虚线段，让研究对象和虚线段绕对称中心旋转1800，形成中心对称，；2、画一个角并标记这个角；3、再次选择原来的对象及虚线段，按标记的角旋转；4、拖动标记的角为
6、00，观察到的图形为中心对称，拖动标记的角从00到1800，可以看到旋转1800后重合的过程。操作步骤：1、准备工作，完成到如图3。2、用选择工具双击点O，标记为中心。3、同时选择点A、B、C，线段AB、AC、BC、OA、OB、OC，绕点O旋转1800，得如图4。图44、用选择工具确保按顺序点D、E、F选中这三点，并注意不要多选其它对象，由菜单“变换”-“标记角”，如果标记成功，会看到一段小动画。5、同时选择点A、B、C，线段AB、AC、BC、OA、OB、OC，由菜单“变换”-“旋转”，在弹出的对话框中作如图5的设置。图56、为便于观察，改按角度旋转所得的所有对象为红色，如图6。图67、拖动点
7、F，使线段EF与ED重合，可以看到红色三角形与ABC重合。说明：本例中标记的角度是图形，这种情况要注意选取三个点的顺序，按“边上的点、顶点、边上的点”来选，如果选择时按逆时针方向，标记的是正角；按顺时针方向，标记的是负角，这将影响对象的旋转方向。标记的角也可以是度量角所得的度数（这时只能是正角），还可以是由计算器计算出来的度数（可正可负）。练习：1、用旋转交换的方法画一个正三角形，并与前面用工具画正三角形的方法比较，你觉得哪种方法简便些？（二）平移对象 平移是指：对于两个几何图形，如果在它们的所有点与点之间可以建立起一一对应关系，并且以一个图形上任一点为起点，另一个图形上的对应点为终点作向量，
8、所得的一切向量都彼此相等，那么 其中一个图形到另一个图形的变换叫做平移。平移是一个保距变换，又是一个保角变换。几何画板中，平移可以按三大类九种方法来进行，其中的有些方法事先要标记角、标记距离或标记向量。在极坐标系中最多可以组合出四种方法，如图7 图7 图8在直角坐标系中可以组合出四种方法，如图8按标记的向量平移有一种方法，如图9图9例3 画一个半径为cm的圆运行结果：得到一个半径为cm的圆，无论如何移动位置，半径保持不变。基本思路：根据勾股定理，让一个点在直角坐标系中按水平方向、垂直方向都平移1cm，得到的点与原来的点总是相距cm，然后以圆心和圆周上的点画圆即可。操作步骤：1、画一个点A。2、
9、选取点A，由菜单“变换”-“平移”， 在弹出的对话框中作如图10的设置，平移后得如图11。 图10 图113、选中这两点，（先选的为圆心），由菜单“构造”-“以圆心和圆周上的点绘圆”。4、最后得如图12，无论如何移动，圆的半径固定为cm。图12例4 全等三角形运行结果：图13拖动点F在线段DE上移动，可演示两个三角形重合和分开，可用来说明全等形。基本思路：本例学习根据标记的向量平移对象，1、画好一个三角形。2、另画一条线段（为方便观察，画成水平线）。3、在线段上画一点。4、标记线段左端点到线段上一点的向量。5、将三角形按标记的向量平移。操作步骤：1、画ABC。2、画线段DE，在DE上画一点F；
10、3、用选择工具先选取点D，后选取点F，由菜单“变换”-“标记向量”，标记从点D到F的向量。4、选取ABC的三边和三个顶点，由菜单“变换”-“平移”，在弹出的对话框中作如图14的设置（如果标记好向量，会自动设置为按标记的向量平移）。图145、用文本工具标记新三角形的三个顶点，最后如图13所示。例 平行四边形的画法前面在学习构造菜单时，我们学习过根据平行四边形的定义，用构造平行线的方法来画一个平行四边形，这种画法对于一般情况下是没有问题的，但如果你想用来说明向量加法的平行四边形法则，你会发现当两个向量共线时，无法构造平行线的交点，因而就无法正确表示两个向量的和。本例介绍根据标记的向量平移的方法来画
11、平行四边形，这样的平行四边形可以正确演示向量加法的平行四边形法则。操作步骤：1、新建一个几何画板文件。2、用“画线段”工具和“文本工具”先完成如图。3、用“选择工具”按顺序选取点A、B，由菜单“变换”-“标记向量”标记一个从点A指向点B的向量。4、确保只选中线段AD和点D，由菜单“变换”-“平移”，设置线段AD和点D按向量AB平移，如图。5、作出第四条边，改第四顶点标签为C。（三）缩放对象缩放是指对象关于“标记的中心”按“标记的比”进行位似变换。其中标记比的方法有：（1）选中两条线段，由菜单“变换”-“标记线段比例”（此命令会根据选中的对象而改变），标记以第一条线段长为分子，第二条线段长为分母
12、的一个比，这种方法也可以事先不标记，在弹出“缩放”对话框后依次单击两条线段来标记。（2）选中度量得的比或选中一个参数（无单位），由菜单“变换”-“标记比例系数”，可以标记一个比。在弹出“缩放”对话框后单击工作区中的相应数值也可以“现场”标记一个比。（3）选中同一直线上的三点，由菜单“变换”-“标记比例”，可以标记以一、三点距离为分子，一、二点距离为分母的一个比。这种方法控制比最为方便，根据方向的变化，比值可以是正、零、负等。例5 相似三角形运行结果：通过拖动点F，让图形动态发生变化，以下三图是F点所在三个不同位置对相似三角形位置的影响： 基本思路：1、由在同一直线上的三个点标记一个比。2、让三
13、角形以其中一个顶点为中心，按标记的比缩放。3、拖动比值控制点让图形在“A”形和“X”型中转变。操作步骤：1、画ABC。2、画一条直线，隐藏直线上的两个控制点，如图16。图163、在直线上画三个点D、E、F，用选择工具依次选取点D、E、F，由菜单“变换”-“标记比例”，标记一个比。4、选取三角形的三边和三个顶点，由菜单“变换”-“缩放”弹出缩放对话框后如图17下设置。单击点A，确保对话框中的旋转中心为A，图175、拖动点F在直线上移动，可以看到相似三角形的变化，还可以通过度量相关的值来帮助理解。（四）反射对象反射是指将选中的对象按标记的镜面（即对称轴，可以是直线、射线或线段）构造轴对称关系。但并
14、不是所有的对象都可以反射，例如轨迹就不能反射。反射命令不会弹出对话框，反射前必须标记镜面，否则即使能够进行反射，得到的结果一般不会是你想要的。例6 轴对称运行结果：从左到右演示了拖动三角形顶点改变其位置和形状，可以观察到动态保持的对称关系和相关性质。基本思路：1、画一条直线并标记它为镜面；2、在直线的一旁画一个三角形；3、选取这个三角形的全部，进行反射；4、拖动其中一个三角形的顶点改变它的形状和位置，可以观察到轴对称的相关性质。操作步骤：1、用画直线工具画一条直线。2、选中这条直线，由菜单“变换”-“标记镜面”，标记这条直线为对称轴。3、在直线的一旁画一个ABC，结果如图18。 图18 图19
15、4、选取ABC的全部，由菜单“变换”-“反射”，并用文本工具标记反射所得的三角形的顶点，得如图19。例 用对称变换画一个等腰三角形。本例将介绍用变换的方法来画一个动态的等腰三角形。操作步骤：1、新建一个几何画板文件。2、先用工具完成到如图。3、用“选择工具”双击线段AD，标记为镜面。4、确保只选取了点B和线段AB，由菜单“变换”-“反射”，得如图。5、隐藏点D和线段AD，按Ctrl+H，隐藏这两个对象。6、画出第三条边，并改第三个顶点的标签为C，如图。任意拖动三个顶点之一，可以看到，无论形状如何改变，ABC始终是等腰形。（五）迭代与深度迭代 问题：我们用旋转变换不难画出正多边形，但边数太多，如
16、要画正十七边型，如图所示，你不嫌繁的话，得用旋转变换16次，那么有没有简单的方法呢，有，那就是“迭代”例1、正十七边形的画法操作步骤：1、画两个点，让B点围绕点A旋转得，连接。2、选定B点，单击菜单“变换”“迭代”，出现下面对话框3、单击，对话框变为上图，注意到“迭代规则数：3”，图形在原有的基础上，增加了3条线段。（想一想，应让计算机重复画几条线段？）4、重复按小键盘上的“”键，直到迭代规则数变为16（也就是要让计算机重复画16条），注意工作区中图形的变化5、单击“迭代”按钮，正十七边形构造完毕，如上图：迭代变换使用的前提条件：1)选定一个（或几个）自由的点，即平面上任一点，或线（直线、线段
17、、射线、圆、轨迹）上的任一点，如上例的B点。2)由选定的点产生的目标点（不要选定，出现迭代对话框后，再选），如线段的中点，或由选定点经过变换产生的点当然迭代的对象还有参数，请看进阶篇：再说迭代迭代的深度（即重复的次数），可用参数控制，即深度迭代，请看例2例2、正n边形的画法运行结果：如图，选定参数n，按小键盘上的“”或“”键，可改变n的值，从而改变多边形的边数，即得到正n边形（这在黑板上是画不出的）。基本思路：1、画两个点，标记其中一个点作为正n 边形的中心。另一个点为最基本的第一顶点；2、“新建参数”n，用3600除以n，得正n边形的圆心角；3、选取圆心角后“标记角度”，让第一顶点绕中心按“
18、标记的角度”旋转,得第二顶点；4、选取参数n、进行第一顶点到第二顶点的“深度迭代”；5、选取参数n，按小键盘上的“+、”键可以改变参数，得到动态的正n边形。操作步骤：一、准备工作（确定旋转角的度数和迭代的深度）1、 按“alt”键，调出计算器，输入“360”（“”由单位按钮输入）2、 单击计算器的“数值”按钮3、 单击“新建参数”按钮4、 将新建参数的对话框改为下图5、 单击新建参数的对话框的“确定按钮”后，单击计算器上的“确定按钮”，再调出计算器，计算n1。画出点A和点B，如下图所示6、让B点，绕点A旋转“”，得，连接。如下图所示：二、深度迭代 1、同时选取点B、“n15”；2、按住Shif
19、t键不放，单击菜单“变换”“深度迭代”弹出如图5的迭代对话框；图5说明：此步如不按住Shift 键，菜单中的命令项是“迭代”，几何画板中部分菜单项会根据按键、工具按钮的选取状态而改变。本例中为了能动态地构造正n边形，必须用深度迭代。3、单击工作区中的点，使图5中“初象”下面框中的问号变成，单对话框中的“迭代”按钮。4、本例至此基本完成，选取工作区中的参数n，用小键盘上的“+、”键可以改变n的大小。说明：参数可以减少到2以下甚至负数，这时已不能构成多边形，在进阶实例中，大家会学习到控制参数大于或等于3的技巧。图6为当n=6时的图形。本章小结：通过本章学习，大家可以看到，利用变换菜单作图比前面的运
20、用工具箱和构造菜单有如下一些特点。前面章节的方法中，主要是根据图形本身的定义来作图，作图过程需要用的辅助对象较多，步骤较繁。运用变换菜单作图，大多是根据图形的几何性质来作，这样做的优势在于，作图速度快，可以精确作图。迭代帮助文件专用名词：迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程迭代图象：迭代操作产生的象的序列。迭代图：原象到初象映射相关联的所有对象的集合。迭代规则：由一个或多个从原象到初象的映射定义迭代执行方式。原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象相关联。迭代深度：迭代执行的次数。原象点：作为原象的点对象。应为自由点。原象值：作
21、为原象的度量值或计算结果。应为独立的值。迭代 此命令依照一个预先定义的迭代规则对一系列有关系的几何对象构造迭代图象。此命令只有当你选定了一些联合的原象点或原象计算结果时才为可用状态。原象点必需是独立的点或路 径上的点，而且必需在当前画板中定义了其它点。原象计算结果必需是参数值或独立的计算结果，而且必需同时定义计算结果象和几何对象。创建迭代任何参量用来定义一个迭代必需有几何子点在画板中迭代操作和迭代结构总是伴随着例子创建，并且在点和参数后定义。用工具和菜单构造由一组独立点或参数产生(你希望的数学关系)一定数目关联对象(点或计算值)。独立对象作为迭代原象或种子，与之相应的相关联的对象作为迭代图。然
22、后在变换菜单 中执行【迭代】显示初象与原象之间的关系。迭代对话框允许你指定你想对迭代结构的迭代 数。结果为原象及关联于原象的每个对象的迭代图象的集合。 一般地，如果一个几何点A作为原象用于构造一个关联的点A，则这个迭代的图象或是迭代的轨道是A，A等系列点。在上方左侧的图示三角形ABC和它的中点ABC已经被构造。在上方右侧的图示，三角形的 独立顶点已经在迭代对话框与它们的中点建立了映射，此构造关系被迭代了4次。结果是一系列点、线段的图象定义的初始结构，作为三角形向中点三角形迭代。 显示选项当你使用迭代对话框时，你能用【显示】中的命令来控制迭代的显示。你能： 增加或减少迭代的次数。 显示完整的迭代
23、，或仅显示最终的迭代。一个对象的系列迭代图象有时称为此对象的轨道。注意：当你的迭代规则中只有一个映射时，更多的是希望显示完整的迭代；当有两个或两个以上的映射时，更多的是期望显示最最终的迭代。迭代实例在画板中，依照上图定义一个迭代规则，指定原象与相应的初象对应。 示例，以三角形ABC三边中点，构造中点三角形DEF。重复以上过程，以三角形DEF三边中点再构造一中点三角形，如此重复做下去。在画板中指定这样的一个迭代规则，为每个原象定义它的初象。即使需重复的结构包括同三角形三个顶点一样的三个边，你只需用A、B、C、D、E、F这几个点指定迭代规则即可。画板会自动算出这个迭代中那些相关联于原象点的其它对象
24、。在此例中，画板将在迭代中包括三角形的三边。For best results, construct the entire pre-image but construct only the points of the image.【】 Let Sketchpad construct the other parts of the image.【让画板构造图象的其它部分。】例如，对中点三角形进行迭代，构造三角形ABC作为原象，中点D、E、F作为初象点。构造这些对象之前，请先选择A、B、C三点定义为原象，从变换菜单中选择迭代命令弹出迭代对话框，为每个原象选择相应的初象。为三角形每个原象点，点击初象(中
25、点)。当你点击每个中点的时候，画板会同时显示原象三角形迭代的映射结果。对三个原象点与中点映射后，点击【迭代】执行迭代关闭对话框。你可能需要移动对话框以使画板中的源三角形及它的中点可见依照你定义迭代规则画板产生映射的一组迭代图象。在这个例子中有六个迭代图象，即源三角形的每个顶点与边。你能选择处理每个分离的迭代图象。例如，你能隐藏或删除源三角形三个顶点的迭代图象，或改变源三角形三条边的迭代图象的颜色。你能用“迭代属性”改变迭代次数来改变显示的迭代图象。你能用【迭代】创建从原象到初象的一个或多个指定的映射。迭代属性只有迭代图象和迭代的规则才有属性面板。用此属性面板设置迭代数，指定是否显示所有迭代或只
26、显示最终迭代，决定随机点在在迭代中的行为。迭代数: 这个数决定迭代重复多少次。最小值为1，最大值依迭代的复杂程度(越复杂迭代的迭代数的最大值越小，反之越大。 如果迭代数-迭代深度-补充一个度量值或计算值定义，当迭代首次创建时，当前值即为迭代深度，不能被编辑。你能通过先选定迭代图象然后用键盘上的+/-来改变迭代数。显示为: 设置首选项迭代显示所有的迭代图象 (每次迭代生成的图象). 设置末选项迭代仅仅显示最后的一次迭代图象，即使设置了迭代数。移动对象上的点: “到与初始对象上的点相对类似的位置”，指的是迭代图象每次迭代时某对象上的自由点在对象上的位置与迭代图中相对应对象上的自由点在对象上的位置相
27、类似。“到所在对象的随机位置”，指迭代图象中的某对象上的自由点的位置随机。 选中迭代图象用键盘!对迭代对象路径上的点进行随机化处理。迭代和迭代图象为了迭代一个行为或一个操作重复某些次数。在数学中，迭代指应用某些数学结构,计算结果或其它处理先前结果的相同操作的过程 。此操作必需在一些输入后定义一个输出，并且迭代用前一步的输出作为下一步的输入。画板允许你对在画板中建立的任何数学关系进行迭代。你能用迭代创建重复的变换。(如棋盘方格)，产生不规则碎片形和其它与自身相似的对象，或其它系对象。在代数学中，一个迭代是一个计算结果的循环(用一个输入值计算一个输出值)。迭代反复地应用前面的计算结果作为下一步迭代
28、的输入。 若要开始迭代过程，首先必需有个开始值，称为种子。比如：以5为种子进行加2处理，第一次迭对5进行加2处理，即5+2=7，第二次迭代则对第一次迭代的结果7进行加2处理，即7+2=9 如此下去产生以下数值序列7,9，11,13,15,17,.在几何学中，一个迭代用一个操作处理一组对象产生一组新的对象。源对象组作为输 入，新对象组作为输入。若要开始操作过程，必需有一组对象作为原象。以“向右平移 1厘米”的变换为例，如果你应用此变换于作为原象的三角形ABC，初象为三角形ABC将向右平移1厘米。迭代此变换将产生一个全等的三角形系列，从原象三角形ABC为开始每个都相对于前面的三角形向右平移1厘米。
29、 在这些例子中，把加2操作或向右平移1厘米变换作为任何单独的值或三角形的迭代规 则。在迭代序列中的每个值或图象作为下一步迭代的值或图象。我们说47到49的映射是在加2操作下进行的。所有的迭代规则都是由原象(种子)和映射操作定义的。当你对原象应用一次操作时，初象作为原象的操作结果。当你进行迭代操作时，你可得到第二次，第三次，第四次的迭代图象等等。 多映射迭代给每个迭代的独立点指一个初象，你能创建一个单一的迭代映射。此映射描述如何变换原象创建一个初象。对于更多的迭代来说，每个迭代步产生一个单独源对象的副本。对于这样的迭代，迭代规则由一个映射组成。可是对于其它的迭代，一步迭代产生两个或更多个源对象的
30、副本。每个源对象的副本需要它自己的映射，因此迭代需要多映射。例如，一个镶嵌有小方格的平等四边行需要你在水平方向垂直方向上迭代棋盘方格。不规则碎片形和棋盘方格是最普通的几何结构，构造它们的迭代规则需要多迭代映射用多映射构造一个迭代规则，使用迭代对话框为第一个映射指定1-3步以内的迭代。然后结构菜单中选择【增加新映射】并为第二个映射中的每个源点指定新的初象。当你所有的映射设置好后，点击【迭代】，执行迭代。 深度参数当你定义一个迭代时，你能使用画板中的一个度量值，参数值，计算值来作为迭代的深度。你在选定定义迭代的原象执行【迭代】之前，应该选择一个值作为所定义迭代的深度。按下shift键时点击变换菜单，其中的【迭代】变成了【深度迭代】。选择此命令出现迭代对话框用以定义迭代的一般选项。一旦迭代被定义，你所选择度量值、参数值、计算值的整数部分将被定义为迭代的深度。(如果深度值不合法，将设置深度值为0。如果深度值太大不能显示所有迭代图象，画板用所能显示的最大值作为迭代深度)如果一个迭代
