1、二元一次方程组及分式方程方程和二元一次方程组基础知识知识点一、 等式的性质等式性质、等式两边都加上或减去同一个数或一个整式,所得的结果仍是等式、用字母表示: 若=b,那么、等式性质、 等式两边同乘以或除以同一个不等于零的数,所得的结果仍是等式、用字母表示: 若ab,那么am=bm, 知识点二、方程、方程的解的概念1。方程 含有未知数的等式叫方程。方程中只含有一个未知数,同时未知数的指数是l,如此的方程叫一元一次方程,其一般形式为a +b = (、b为常数,且a);方程中含有两个未知数(x和y),同时含有未知数的项的次数都是,像如此的方程叫做二元一次方程,一般形式:xby+c=o(a0, b0)
2、。2、方程的解 能够使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解、一般地,一元一次方程有唯一解,二元一次方程有无数组解,二元一次方程组有唯一解、知识点三、 一元一次方程、二元一次方程的解法、步骤1。 解一元一次方程的步骤变形名称具体做法注意事项去分母在方程的两边同乘以各分母的最小公倍数()不要漏乘不含分母的项(2)分子是一个整体,去分母后应加括号去括号先去小括号,再去中括号,最后去大括号(或由外向内)(1)不要漏乘括号里的项(2)注意“+”“”号的改变移项把含有未知数的项都移到方程的另一边(1)移项要变号(2)不要漏掉项合并同类项把方程化为ax=(a0)的形式字母及其指数不变,系数相加系数化为1在
3、方程两边都乘以未知数的系数a,的得到方程的解 不要把分子、分母位置颠倒2。 二元一次方程组的解法 解二元一次方程组的基本思想是“消元”,将“二元转化为“一元”。通常的方法有:代入消元法和加减消元法。代人消元法:把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代人另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,简称代人法、加减消元法:两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,简称加减法、 事实上二元一次方程组的解法还有图像法,两个一次函数的交点坐标就是两个解析式联立方程组的解、知识点四
4、、列方程解应用题的一般步骤列方程解决实际问题通常有下列几个步骤:审:审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间的关系设:设未知数,用字母表示适当是未知数、找:找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系。列:依照题中的相等关系列出方程、解:解方程,求出未知数的值答:检验所得解是否符合题意,写出问题的答案。重点例题解析例1、 (滨州)把方程变形为=,其依据是()、等式的性质1 、等式的性质2C、分式的基本性质 D、不等式的性质1例、 (孝感)已知是二元一次方程组的解,则的值是( )、 B。 C、 。 例3、(毕节)若与能够合并成一项,则的值是( )A、 B、 C。 、1例4。(达州)如图,已知函
5、数y=x+b和y=cx+d的图象交于点M,则依照图象可知,关于x,y的二元一次方程组 的解为 。例5。 解下列方程(组)(1) ()例6、 (福州)把一些图书分给某班学生阅读,假如每人分3本,则剩余20本;假如每人分本则还缺25本。这个班有多少学生?例7、 (凉山州)依照图中给出的信息,解答下列问题:()放入一个小球水面升高 m,放入一个大球水面升高 c;(2)假如要使水面上升到0m,应放入大球、小球各多少个？巩固练习1、 已知m=,下列结论错误的是( )A、xy B、a+mx=amy C、-y=-y D。m=amy。 (泰安)方程与下列方程构成的方程组的解为的是( )A。 B。 、 。 (莆
6、田)若x、y满足方程组,则的值等于( )A、- 、1 C、 D。3。 (恩施)“六一期间,某商店将单价标为130元的书包按8折出售可获得,该书包每个的进价是()、65元 B、80元 C、100元 D。 0元5、 (娄底)已知关于x的方程2xa50的解是x=,则a的值为_。、(徐州)函数y=与y=x+1的图象的交点坐标为 、 、 (宁夏)若2b5,a-2b=4,则a-的值为_。8、 解下列方程(组)(1)解方程: (2)解方程组9、 (齐齐哈尔)将一张面值100元的人民币,兑换成0元或元的零钱,兑换方案有 ( ) 、6种 B、7种 C。8种 、9种 10。(2014工业园区一模)若关于x,y的二
7、元一次方程组的解也是二元一次方程2x+y=6的解,则k的值为( )A、B、 C、 D、1、(214历城区一模)已知关于x的二元一次方程组,若x+y3,则m的取值范围是( )A、m1 、m2、m3 。m12。(2013永州)已知(xy+3)2+=,则x+y的值为()A、0B。1C。1 D、5、(2014桥东区一模)如图,在一圆形跑道上,甲从A点、乙从点同时出发,反向而行,8分钟后两人相遇,再过6分钟甲到B点,又过10分钟两人再次相遇、甲环行一周需要的时间是( )A、26分钟B、2分钟 C、30分钟 D、32分钟14、(2012德阳)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方
8、由密文明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,d对应密文a2b,b+c,2c+3d,4d。例如,明文1,2,3,对应密文,7,1,16、当接收方收到密文14,9,28时,则解密得到的明文为( )A、7,6, B、6,4, C。4,6,7 D、1,6,4,715、(213下城区二模)已知a1|=1a,若a为整数时,方程组的解x为正数,为负数,则a的值为()、0或1。1或1 C、0或 、06、(012杭州)已知关于,y的方程组,其中3a1,给出下列结论:是方程组的解;当a=2时,x,y的值互为相反数;当a=1时,方程组的解也是方程xy=4的解;若x1,则1y4。其中正确的是( )A、B、D。17
9、、(007淄博)若方程组的解是,则方程组的解是( )A、 B、 、 D、1。关于x,的方程组有无数组解,则,的值为()、a=0,b=0B、a2,=1 C、a=2,b1 D、a=2,b=11、 如图,用块相同的长方形纸板拼成一个矩形,设长方形纸板的长和宽分别为cm和ycm,则依题意列方程式组正确的是( )A B C 0、(1西湖区一模)已知关于,y的方程组的解为正数,则的取值范围是 _。21、(2007舟山)三个同学对问题“若方程组的解是,求方程组的解、”提出各自的想法、甲说:“这个题目好象条件不够,不能求解;乙说:“它们的系数有一定的规律,能够试试”;丙说:“能不能把第二个方程组的两个方程的两
10、边都除以,通过换元替代的方法来解决”、参考他们的讨论,您认为这个题目的解应该是 _、22、若=2,y=是方程组的解,则方程组的解是_ 、3。若关于x、的两元一次方程组 有唯一解,则常数m应满足的条件是 _、4、(南昌)小明的妈妈在菜市场买回斤萝卜、2斤排骨,准备做萝卜排骨汤、妈妈:“今天买这两样菜共花了4元,上月买同重量的这两种菜只要6元;爸爸:“报纸上说了萝卜的单价上涨了50,排骨的单价上涨了20;小明:“爸爸、妈妈,我想明白今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”请您通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位:元斤)、中考预测。方程组 的解为( )、 B、C、 D、2。 已知是方程组的解
11、,则a的值是( ) A、 B。2 C、 D。43。 若,则实数在数轴上的对应点一定在( )A、原点左侧 B、原点或原点左侧 C、原点右侧 D、原点或原点右侧4、已知,则x+y的值为( )A、 、1 C、 D、55、 由方程组可得出x与的关系是( )、 B。 C。 D、 。已知x、y是二元一次方程组的解,则代数式x24y的值为 、7、 如图,已知函数2x与函数=kx的图象交于点,则方程组的解是 、8。哥哥与弟弟的年龄和是18岁,弟弟对哥哥说:“当我的年龄是您现在年龄的时候,您就是8岁,”假如现在弟弟的年龄是x岁,哥哥的年龄是y岁,依照题意列出方程组是 、9、今年学校举行足球联赛,共赛1轮(即每队
12、均需参赛17场),记分方法是:胜1场得分,平1场得1分,负1场得0分、在这次足球比赛中,小虎足球队得16分,且踢平场数是所负场数的整数倍,则小虎足球队所负场数的情况有( )A、 2种 B。 3种 C、 4种 D。 种分式与分式方程基础知识知识点一、分式的概念、有意义及分式的值1、 分式的概念一般地,用A,B表示两个整式,A表示成的形式、假如B中含有字母,式子就叫做分式、。分式的意义关于分式而言,当时,分式有意义;当B时,分式无意义。 3、分式的值求分式的值,就是把字母的值代入分式即可求得分式的值、 特别地,当分式的值为0时,先依照分子为零,求出字母所有的值,再将所求字母的值代入分母,检验分母的
13、值是否等于0,若字母的值使分母不等于0,即为所求的值、知识点二、 分式的基本性质 1、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为的整式,分式的值不变。用式子表示为:,(A、C为整式,B、C) 分式的基本性质由六部分构成: 分式的分子与分母; 都乘以(或除以); 同一个;不等于0的; 整式;分式的值不变、(2)弄明白分式的基本性质是为了运用它、运用这一性质主要是解决“确定分式的符号”“约分“通分”问题。 2、最简分式一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式。约分时,一般将一个分式化为最简分式。知识点三、分式的运算1、分式的加减、乘除与乘方法则运算法则数学表达式加减法
14、同分母相加减:分母不变,分子相加减。、异分母相加减:先通分,同乘以各分母的最小公倍数,再按同分母相加减法则运算、乘法两分式相乘:分子与分子相乘,分母与分母相乘、。除法分式B则A,然后用分式乘法进行运算。、乘方分式的乘方等于分子、分母分别乘方、混合运算顺序 (1)在没有括号的情况下,按从左到右的方向,先乘方,再乘除,然后加减、()有括号要按先小括号,再中括号,最后大括号的顺序、混合运算后的结果分子、分母要进行约分、 注意:最后的结果要是最简分式或整式、分子或分母的系数是负数时,要把“”号提到分式本身的前面、知识点四、分式方程的概念及其解法1、分式方程分母中含有未知数的方程叫分式方程,这是分式方程
15、与整式方程的根本区别、2。解分式方程 解分式方程的一般步骤是:去分母,将分式方程化为整式方程;解这个整式方程,得未知数的值;检验,将所得整式方程的解代入去分母时方程两边所乘的整式中,使这个整式的值不为的未知数的值即为分式方程的解,否则便不是,此分式方程无解、(有的书上也称为原方程的增根)。知识点五、列分式方程解应用题的一般步骤 审清题意、弄清题中涉及哪些量？已知量和未知量各有几个?弄清量与量之间的基本关系找题目中的相等关系、有的题目不止一个等量关系,依照这些等量关系,合理地设出未知数,用含有未知数的代数式表示其他未知量、列方程,依照题目中的等量关系,列出方程。解方程、检验、检验解的合理性(包括
16、检验是否是方程的解,是否符合实际),写出答案。典型例题解析例1、 (凉山州)分式的值为零,则x的值为( )A、3 B、-3 C、 3 D。任意实数例2、(绥化)化简的结果是_、例、 (抚州)先化简:(x,再任选一个您喜爱的数x代入求值、例、 (龙岩)解方程例5、 (凉山州)关于的方程的解是正数,则的取值范围是 例、(哈尔滨)荣庆公司计划从商店购买同一种品牌的台灯和手电筒,已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元,若用0元购买台灯和用60元购买手电筒,则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半、()求购买该品牌的一个台灯、一个手电筒各需要多少元;(2)经商谈,商店给予荣庆公司购买一个该品牌的台灯赠
17、送一个该品牌的手电筒的优惠,假如荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个,且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元,那么荣庆公司最多能够购买多少个该品牌的台灯？巩固练习1。 (河北)化简:( )A、 B、 C、x D、(杭州)若,则w=( )A。a2(a)B、a+(a2) C、a-2(a2) D、-(a-2)。 (德州)分式方程的解是( )、1 B、 。x D、无解、(214龙东地区)已知关于x的分式方程+=1的解是非负数,则m的取值范围是( )、m2B。2 C、m2且3 、m且m35、(214拱墅区二模)以下说法:关于x的方程x=c+的解是c(c0);方程组的正整数解有组;已知
18、关于,y的方程组,其中a1,当a=1时,方程组的解也是方程xy=4a的解;其中正确的有( )、B、 C、D、(2013黑龙江)已知关于x的分式方程=的解是非正数,则的取值范围是( )A、a1 B、a1且a2C。a1且D、a1。(3贵港)关于x的分式方程的解是负数,则m的取值范围是( )A、m1B、m1且m0 C。m1 D。m1且m08。(4丹徒区模拟)用换元法解方程时,设+=y,则原方程可化为( )A、y2y3=0B、2y=0 C、y2y10D。22y3=09、(2013岳阳)关于x的分式方程+3=有增根,则增根为( )A、x=1 B、 C、=3 D。x=310。(012萧山区一模)关于x的分
19、式方程有增根,则的值是( )A、2 B、5、6 D、71、(2014路北区一模)某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道,为尽量减少施工对交通造成的影响,实施施工时“”,设实际每天铺设管道x米,则可得方程,依照此情景,题中用“”表示的缺失的条件应补为()、每天比原计划多铺设10米,结果延期5天才完成、每天比原计划少铺设10米,结果延期15天才完成、每天比原计划多铺设10米,结果提早15天才完成D、每天比原计划少铺设1米,结果提早15天才完成12、(201梧州)父子两人沿周长为的圆周骑自行车匀速行驶、同向行驶时父亲不时超过儿子,而反向行驶时相遇的频率增大为1倍、已知儿子的速
20、度为v,则父亲的速度为( )A、1vB。1。2 、1、3vD、1。4v1。(202鸡西)若关于的分式方程无解,则的值为( )A、5B、1C、5或2 D、0。5或1。514、(齐齐哈尔)关于x的分式方程的解为正数,则字母的取值范围为 ( )A。a 1 B、a -1 、 1 D、a 115、(2014成都)已知关于x的分式方程1的解为负数,则k的取值范围是_ 。16。(014牡丹江二模)若关于x的方程1=无解,则a的值是_、17、(01简阳市模拟)已知关于的方程=2的解是正数,则m的范围是 _ 、18、(2014普陀区二模)解方程=,设=,那么原方程化为关于y的整式方程是_ 、19。(013黄州区
21、二模)若解分式方程产生增根,则m的值为 _、。(01民勤县一模)若分式方程有增根,则a的值为_、21、(日照)为了进一步落实“节能减排”措施,冬季供暖来临前,某单位决定对7200平方米的“外墙保温工程进行招标,现有甲、乙两个工程队参与投标,比较这两个工程队的标书发现:乙队每天完成的工程量是甲队的1。5倍,如此乙队单独干比甲队单独干能提早1天完成任务。问甲队每天完成多少平方米？中考预测、 已知a23a=,则的值为( )A、 B。1 C、- 。-52。 已知:点P(12a,a2)关于原点的对称点在第一象限内,且a为整数,则关于x的分式方程=2的解是( )。 B、1 C、3 、不能确定3、小军家距学
22、校5千米,原来他骑自行车内学,学校为保障学生安全,新购进校车接送学生,若校车速度是他骑自行车速度的2倍,现在小军乘班车内学能够从家晚出发1分钟,结果与原来到校的时间相同。设小军骑车的速度为x千米/时,则所列方程正确的为( )A、= B、 = 。10= 、0=4、 为弘扬中华民族传统文化,某校举办了“古诗文大赛”,并为获奖同学购买签字笔和笔记本作为奖品、1支签字笔和2个笔记本共8、元,2支签字笔和3个笔记本共13、5元、()求签字笔和笔记本的单价分别是多少元？(2)为了激发学生的学习热情,学校决定给每名获奖同学再购买一本文学类图书,假如给每名获奖同学都买一本图书,需要花费720元;书店出台如下促销方案:购买图书总数超过50本能够享受折优惠。学校假如多买12本,则能够享受优惠且所花钱数与原来相同、问学校获奖的同学有多少人?
