1、中考数学拓展题型二次函数综合题含答案解析2019-2020年中考数学：拓展题型-二次函数综合题（含答案解析）拓展题型二次函数综合题拓展一二次函数与线段和差问题针对演练1. (2016贺州10分)如图，矩形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(10，8)，沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC 上的E处，E点坐标为(6，8)，抛物线yax2bxc经过O，A，E三点(1)求此抛物线的解析式；(2)求AD的长；(3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当PAD的周长最小时，求点P的坐标第1题图2. (2016大连12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2与y轴相交于点A，点B与
2、点O关于点A对称(1)填空，点B的坐标是_；(2)过点B的直线ykxb(其中k0)与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PBPC.求线段PB的长(用含k的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上，说明理由；(3)在(2)的条件下，若点C关于直线BP的对称点C恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标第2题图 3. 如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF2，EF3.(1)求抛物线的解析式；(2)连接CB交EF于点M，再连接AM交OC于点R，连接AC，求ACR的周长；(3)设G
3、(4，5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PHEF于点H，连接AP，GH，问APPHHG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由 第3题图 备用图【答案】1解：(1)四边形OABC是矩形，B(10，8)， A(10，0). (1分)又抛物线yax2bxc经过点A(10，0)、E(6，8)和O(0，0)，解得，抛物线的解析式为yx2x； (3分)(2)由题意可知：ADED，BE1064，AB8，(4分)设AD为x，则EDx，BDABAD8x，在RtBDE中，ED2EB2BD2，即x242(8x)2， (5分)解得x5，即AD5；(6分)(3)由(2)可知，D点的坐标是(
4、10，5)，PAD的周长lPAPDADPAPD5，(7分)抛物线的对称轴是线段OA的垂直平分线，点P是抛物线对称轴上的一动点，POPA，lPAPD5POPD5，当POPD最小时，PAD的周长l最小，即当点P移动到直线OD与抛物线对称轴的交点处时POPD最小， (8分)设直线OD的解析式为ykx，将D点坐标(10，5)代入得：510k，解得k，直线OD的解析式为yx，(9分)当x5时，y，P点的坐标是(5，)(10分)2解：(1)(0，)； (2分)【解法提示】由yx2得：A(0，)，点B、O关于点A对称，B(0，)(2)直线BC过点B(0，)，直线BC解析式为ykx，(3分)C(，0)，又P是
5、直线l上一点，可设P(，a) 如解图，过点P作PNy轴，垂足为N，连接PB，第2题解图则在RtPNB中，由勾股定理得：PB2PN2NB2，PBPCa，a2()2(a)2，(5分)解得a，PB，P点坐标为(，)，(6分)当x时，y，点P在抛物线上；(7分)(3)如解图，由C在y轴上，可知CBPCBP，第2题解图PBPC，CBPPCB，PCCB，PCBABC，CB PCBPABC60，PBC为等边三角形，OB，BC1，OC，PC1，P(，1)(12分)3解：(1)四边形OCEF为矩形，且OF2，EF3，C(0，3)，E(2，3)，将C(0，3)，E(2，3)代入抛物线解析式yx2bxc得，解得，抛
6、物线的解析式为yx22x3；(2)由(1)得yx22x3，令y0，得x22x30，解得x11，x23，A(1，0)，B(3，0)，AO1，BO3，又C(0，3)，OC3，在RtAOC中，由勾股定理，得AC，COBO3，OF2，OBCOCB45，AF3，BF1，MFBF1，ROMF，AROAMF，解得RO，CR3，在RtAOR中，AR，ACR的周长为；(3)存在点P，使得APPHHG的值最小如解图，取OF中点A，连接AG交直线EF的延长线于点H，过点H作HPy轴于点P，连接AP，此时，APPHHG的值最小，第3题解图设直线AG的解析式为ykxa，将A(1，0)，G(4，5)代入得，解得，直线AG
7、的解析式为yx，令x2，得y，点H的坐标为(2，)，符合题意的点P的坐标为(0，)拓展二二次函数与三角形面积问题针对演练1. (2016永州12分)已知抛物线yax2bx3经过(1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线ykx与抛物线交于A，B两点(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；(2)当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；(3)是否存在实数k使得ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由第1题图2. (2015攀枝花)如图，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相
8、交于点M，连接PB.(1)求该抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q，使得QMB与PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由第2题图3. (2015桂林)如图，已知抛物线yx2bxc与坐标轴分别交于点A(0，8)、B(8，0)和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动(1)直接写出抛物线的解析式：
9、_；(2)求CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，CED的面积最大？最大面积是多少？(3)当CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P(点E除外)，使PCD的面积等于CED的最大面积，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由第3题图4. (2016常州10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx与二次函数yx2bx的图象相交于O、A两点，点A(3，3)，点M为抛物线的顶点(1)求二次函数的表达式；(2)长度为2的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；(3)直线OA上是否存在点E
10、，使得点E关于直线MA的对称点F满足SAOFSAOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由第4题图【答案】1解：(1)令x0，得y3，C(0，3)，把(1，0)和(3，0)代入yax2bx3中，得，解得，抛物线的解析式为yx22x3；(3分)(2)联立方程组，解得，O是AB的中点，x1x20，即解得k2， 或，A(，2)，B(，2)；(7分)；(3)不存在实数k使得ABC的面积为.理由如下：假设存在实数k使得ABC的面积为，联立方程组，解得，则A()， B()， SABCOC(xBxA)，3，k24k1610，即k24k60，b24ac16240，此方程无解，不存在实数k使得ABC的面
11、积为.(12分)2解：(1)把点A(1，0)，B(3，0)代入yx2bxc，得，解得，yx22x3；【一题多解】由题意可知点A(1，0)，点B(3，0)是抛物线与x轴的两个交点，抛物线解析式为y(x1)(x3)x22x3. (2)存在点D，使得BCD的面积最大设D(t，t22t3)，如解图，作DHx轴于点H，C点坐标为(0，3)，第2题解图则SBCDS四边形DCOHSBDHSBOCt(t22t33)(3t)(t22t3)33t2t，0，即抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值，当t时，SBCD()2，即点D的坐标为(，)时，SBCD有最大值，且最大面积为； (3)存在点Q，使得QMB与PMB的面
12、积相等如解图，P(1，4)，过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一，第2题解图直线BC为yx3，过点P作BC的平行直线l1，设l1为yxb，将P(1，4)代入即可得到直线l1的解析式为yx5，联立方程组，解得， ，Q1(2，3)；直线PM为x1，直线BC为yx3，M(1，2)，设PM与x轴交于点E，PMEM2，过点E作BC的平行直线l2，则过点E且与BC平行的直线l2与抛物线的交点也为所求Q点之一，即将直线BC向下平移2个单位得到直线l2，解析式为yx1，联立方程组，解得，Q2()，Q3()，满足条件的Q点为Q1(2，3)，Q2()，Q3()3解：(1)yx23x8；【解法提示
13、】把点A(0，8)、B(8，0)代入yx2bxc可得，解得，抛物线解析式为yx23x8.(2)在yx23x8中，当y0时，x23x80，解得x12，x28，E(2，0)，BE10，SCEDDEOC，St(10t)t25t，S与t的函数关系式为：St25t，St25t(t5)2，当t5时，CED的面积最大，最大面积为；(3)存在，当CED的面积最大时，t5，即BDDE5，此时，要使SPCDSCED，CD为公共边，故只需求出过点B、E且平行于CD的直线即可，如解图第3题解图设直线CD的解析式为ykxb，由(2)可知OC5，OD3，C(0，5)，D(3，0)，把C(0，5)、D(3，0)代入ykxb
14、，得，解得，直线CD的解析式为yx5，DEDB5，过点B且平行于CD的直线解析式为y(x5)5，过点E且平行于CD的直线解析式为y(x5)5，分别与抛物线解析式联立得：方程：x23x8(x5)5，解得x18，x2，方程：x23x8(x5)5，解得x3，x42(舍去)，分别将x值代入抛物线解析式，得y10，y2，y3，又P点不与E点重合，满足题意的P点坐标有3个，分别是P1(8，0)，P2(，)，P3(，)4解：(1)由题意知，A(3，3)在二次函数yx2bx的图象上，将x3，y3代入得93b3，解得b2，二次函数表达式为yx22x；(2分)(2)如解图所示，过点P作PBQQ1于点B，第4题解图
15、PQ2，且在直线yx上，PBQB2 ，(3分)设P(a，a)，则Q(a2，a2)，P1(a，a22a)，Q1(a2，(a2)22(a2)，即Q1(a2，a22a)，四边形PQQ1P1的面积为：2a22a22(a)2，(4分)当Q运动到点A时，OPOQPQ，a1，a的取值范围为0a1，当a时，四边形PQQ1P1的面积最大，最大值为；(5分)(3)存在，点E的坐标为E1(，)，E2(，)，如解图所示，连接OM，第4题解图点M为抛物线顶点，M(1，1)，又OA所在直线为yx，OMOA，即AOM90，在AOF和AOM中，以OA为底，当面积相等时，则两三角形OA边上的高相等，又OMOA，且OM，可作两条
16、与OA互相平行且距离为的直线，(6分)如解图所示，在直线HD、MC上的点F均满足SAOFSAOM，只需满足E点的对称点F在这两条直线上即可如解图，过点A作ACMC于点C，易得四边形OACM为矩形，AM为该矩形的一条对角线，取AM中点O，过O作AM垂线，交OA于点E1，交MC于点F1，OA3，AO，AOE1AOM，(7分)， ，解得OE1，点E1在yx上，E1(，)，(8分)同理可得HF2GE2，又OG2OA6，OE26，E2(，)综上所述，符合条件的E点的坐标为：E1(，)、 E2(，)(10分)拓展三二次函数与特殊四边形判定问题针对演练1. (2016茂名8分)如图，抛物线yx2bxc经过A
17、(1，0)，B(3，0)两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD.(1)求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；(2)点P是线段BD上一点，当PEPC时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，过点P作PFx轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标 第1题图 备用图2. (2016安顺14分)如图，抛物线经过A(1，0)，B(5，0)，C(0，)三点(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PAPC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动
18、点，在抛物线上是否存在一点N，使以A、C、M、N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由第2题图3. (2016南充10分)如图，抛物线与x轴交于点A(5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，5)有一宽度为1，长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N，交x轴于点E和F.(1)求抛物线解析式；(2)当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sinAMF，求点Q的坐标；(3)在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标第3题图4. (2016成都12分)如图，在
19、平面直角坐标系xOy中，抛物线ya(x1)23与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，)，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P、Q两点，点Q在y轴的右侧(1)求a的值及点A、B的坐标；(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为37的两部分时，求直线l的函数表达式；(3)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否成为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由 第4题图 备用图【答案】1解：(1)抛物线yx2bxc经过A(1，0)，B(3，0)两点，解得，经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为yx2
20、2x3；(2分)(2)如解图，连接PC、PE，第1题解图，当x1时，y1234，点D坐标为(1，4)，设直线BD为：ymxn，将点B、D坐标分别代入表达式，得，解得，y2x6，设点P坐标为(x，2x6)，由勾股定理可得PC2x2(32x6)2，PE2(x1)2(2x6)2，PCPE，x2(32x6)2(x1)2(2x6)2，解得x2，则y2262，P(2，2)；(5分)(3)依题意可设点M坐标为(a，0)，则G坐标为(a，a22a3)如解图，以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，必有FMMG，第1题解图即|2a|a22a3|， 2a(a22a3)，解得a， 2aa22a3，解得a，综上所述
21、，M点的坐标为(，0)，(，0)，(，0)，(，0)(8分)2解：(1)设抛物线的解析式为yax2bxc(a0)，将点A(1，0)，B(5，0)，C(0，)代入得，解得，抛物线的解析式为yx22x；(4分)(2)由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，如解图，连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点即为所求，第2题解图设直线BC的解析式为ykxb1(k0)，由题意得，解得，直线BC的解析式为yx，抛物线yx22x的对称轴是x2，当x2时，yx2，点P的坐标是(2，)；(9分)(3)存在(10分)(i)当存在的点N在x轴的下方时，如解图所示，第2题解图四边形ACNM是平行四边形，CNx轴，点
22、C与点N关于对称轴x2对称，C点的坐标为(0，)，点N的坐标为(4，)； (11分)(ii)当存在的点N在x轴上方时，如解图所示，作NHx轴于点H，四边形ACMN是平行四边形，ACMN，NMHCAO，AOCMHN，RtCAORtNMH (AAS)，NHOC，点C的坐标为(0，)，NH，即N点的纵坐标为，x22x，解得x12，x22.点N的坐标为(2，)或(2，)(13分)综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为(4，)，(2，)，(2，)(14分)3解：(1)根据题意得，A(5，0)，B(3，0)是抛物线与x轴的交点，设抛物线的解析式为ya(x5)(x3)，(1分)抛物线过点C(0，5)，
23、a，抛物线的解析式为y(x5)(x3)x2x5；(2分)(2)如解图，过点F作FDAC于点D，第3题解图OA5，OC5，CAO45. (3分)设AF的长为m，则DFm，MEAEm1，sinAMF，(4分)在RtMEF中，FM2ME2EF2，(m)2(m1)212，解得m11，m2(不符合题意，舍去)，(5分)AF1，点Q的横坐标为4.又点Q在抛物线yx2x5上，Q(4，)；(6分)(3)设直线AC的解析式为ykxn(k0)，由题意得，解得，直线AC的解析式为yx5. (7分)由题知，点Q，N，F及点P，M，E的横坐标分别相同，设F(t，0)，E(t1，0)，点M，N均在直线yx5上，N(t，t
24、5)，M(t1，t6)，点P，Q在抛物线yx2x5上，Q(t，t2t5)，P(t1，t2t4)，(8分)在矩形平移过程中，以P、Q、N、M为顶点的平行四边形有两种情况：点Q、P在直线AC的同侧时，QNPM，(t2t5)(t5)(t2t4)(t6)，解得t3，M(2，3)；(9分)点Q，P在直线AC的异侧时，QNMP，(t2t5)(t5)(t6)(t2t4)，解得t13，t23，M(2，3)或(2，3)，符合条件的点M是(2，3)，(2，3)或(2，3)(10分)4解：(1)抛物线与y轴交于点C(0，)，a3，解得a，y(x1)23，当y0时，有(x1)230，解得x12，x24，A(4，0)，B(2，0)；(3分)(2)由(1)可知，A(4，0)，B(2，0)，C(0，)，D(1，3)，S四边形ABCDSAHDS梯形OCD
