1、第二章 轨迹与方程,主要内容：,1、平面曲线的方程,2、曲面的方程,3、母线平行于坐标轴的柱面方程,4、空间曲线的方程,第一节 平面曲线的方程,一、曲线与方程：定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一条曲线有着关系：,（1）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标；,（2）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程；,则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为方程的图形。,曲线的方程常表示为：,F(x,y)=0 或 y=f(x),二、曲线的矢量式方程,例1、求圆心在原点，半径为R的圆的方程。,解：矢量式方程,普通方程,x2+y2=R2,化为普通方程为,xy=2(x+y2),故曲线为,1
2、、矢性函数,当动点按某种规律运动时，与它对应的径矢也随着时间t的不同而改变（模与方向的改变），这样的径矢称为变矢，记为r(t)。如果变数t(atb)的每一个值对应于变矢r的一个完全的值（模与方向）r(t)，则称r是变数t的矢性函数，记为r=r(t)(atb).,2、矢性函数的分量表示,设平面上取定的标架为O;e1,e2,则矢性函数可表示为,r(t)=x(t)e1+y(t)e2(atb).（1）,其中x(t),y(t)是r(t)的分量，它们分别是变数t的函数。,3、矢量式参数方程,若取(atb)的一切可能值，由（1）,4、坐标式参数方程,曲线 的参数方程常可以写成下列形式：,称为曲线的坐标式参数
3、方程。,的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由t的某一值t0(at0b)通过（1）完全确定，则称表达式（1）为曲线的矢量式参数方程，其中t为参数。,表示的径矢r(t),已知直线l通过定点M0(x0,y0),且与非零矢量v=X,Y共线，求直线l的方程。,(t为随M而定的实数）,又因为,所以,r-r0=tv,（2）矢量式参数方程为,5、直线的方程,故得l的,注1：参数t的几何意义：,当v是单位矢量时，|t|为点M与M0之间距离。,注2：直线的方向矢量：,与直线l共线的非零矢量 v 称为直线l的方向矢量。,（3）：直线的对称式方程,由直线的参数方程（
4、2）中消去参数t可得：,对称式方程,（4）直线的一般方程和点法式方程,将对称式方程改写为,Ax+By+c=0(3),其中A=Y，B=-X，C=-(Yx0-Xy0),方程(3)称为直线的一般方程。,反之，设(x0,y0)是（3）上一点，则,Ax0+By0+c=0,故（3）可改写为,A(x-x0)+B(y-y0)=0（4）,或,可见系数A，B的几何意义是：,矢量q=B,-A是直线（3）的一个方向矢量，而矢量p=A,B垂直于矢量q，从而垂直于直线（3），我们称p=A,B为直线（3）的法矢量，而方程（4）称为直线的点法式方程。,6、两条直线相关位置的判定,给定两条直线,l1:A1x+B1y+C1=0
5、l2:A2x+B2y+C2=0,则,（4）两直线的交角,例3、一个圆在一直线上无滑动滚动，求圆周上一点P的轨迹。,解：取直角坐标系，设半径为 a的圆在x轴上滚动，开始时点 P 恰在原点，经过一段时间的滚动，圆与直线的切点移到 A 点，圆心的位置移到C点，这时有,则,又因为,所以,从而点P的矢量式参数方程为,r=a(-sin)i+a(1-cos)（+）,其坐标式参数方程为,这种曲线称为旋轮线或摆线。,例5 已知大圆的半径为a，小圆的半径为大圆半径的四分之一，若大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，动圆上某一定点P的轨迹称为四尖星形线，求四尖星形线的方程。,解（略）,参数方程为,七 曲线的参数方程
6、,例6 把椭圆的普通方程式 化为参数方程。,法一,法二,设y=tx+b,代入原方程得,解得,在第二式中取t=0,得x=0，所以舍去第一式，取,从而,在法二中，若令u=-t，则得椭圆的另一种表示式为,注：第二种解法中，设y=tx+b，实际上是在椭圆上取一定点(0,b),作以(0,b)为中心的直线束，而这时的椭圆的参数方程恰为直线束中的直线与椭圆交点的一般表达式。由于这时过点(0,b)的y轴的斜率不存在，因此需补上点(0,-b)，或把它看成当t时的交点。,例7 化方程 y2(2a-x)=x3(a0)为参数方程。,解：设y=tx，代入可得参数方程,注1：有些曲线只能用参数方和表示而不能用普通方程表示
7、，即不能用x,y的初等函数来表示，如,注2：在曲线的普通方程与参数方程的互化时，必须注意两种形式的方程的等价性，即考虑参数的取值范围。,第二节 曲面的方程,一、.定义:若曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有如下关系:,(1)S上任一点的坐标满足方程F(x,y,z)=0;,(2)不在S上点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0;,那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.,例1、求连结两点A(1,2,3),B(2,-1,4)的线段的垂直平分面的方程。,解：垂直平分面可以看成到两定点A和B等距离的动点M(x,y,z)的轨迹，故点M的特征为,用两点
8、间的距离公式代入并化简可得：,2x-6y+2z-7=0,例2 求两坐标面xOz和yOz所成二面角的平分面的方程。,解：因为所求平分面是与两坐标面xOz和yOz有等距离的点的轨迹，因此M(x,y,z)在平分面上的充要条件是,|y|=|x|,即,X+y=0 与 x-y=0,(x x0)2+(y y0)2+(z z0)2=R2(1),称方程(1)为球面的标准方程.,特别:当球心在原点O(0,0,0)时,球面方程:x2+y2+z2=R2,例3、求球心为M0(x0,y0,z0),半径为R的球面的方程.,解：对于球面上任一点M(x,y,z),都有|M M0|2=R2.即,解,根据题意有,所求方程为,解:原
9、方程可改写为,(x 1)2+(y+2)2+z2=5,故:原方程表示球心在M0(1,2,0),半径为 的球面.,例5:方程 x2+y2+z2 2x+4y=0表示怎样的曲面?,例6 方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,二、曲面的参数方程,1、双参数矢函数,在两个变数u,v的变动区域内定义的函数,r=r(u,v)或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3(2),称为双参数矢函数，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变矢r(u,v)的分量，它们都是变数u，v的函数。,当u,v取遍变动区域的一切值时，径矢,的终点M(x(u,v),y(u,v
10、),z(u,v)所画的轨迹一般为一张曲面。,2、曲面的矢量式参数方程,定义：若取u,v(aub,cvd)的一切可能值，由（2）表示的径矢r(u,v)的终点M总在一个曲面上，反之，在这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由u,v的值(aub,cvd)通过（2）完全决定，则称（2）式为曲面的矢量式参数方程，其中u,v为参数。,3、曲面的坐标式参数方程,因为径矢r(u,v)的分量为x(u,v),y(u,v)z(u,v),所以曲面的参数方程也常写成,表达式（3）称为曲面的坐标式参数方程。,例5 求中心在原点，半径为r的球面的参数方程。,所以,r=(rsincos)i+(rsinsin
11、)j+(rcos)k(4),此即为中心在原点，半径为r的球面的矢量式参数方程。,中心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为,（4），（5）中的，为参数，其取值范围分别是0与-。,例7 求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。,解：如图,有,所以 r=(Rcos)i+(Rsin)j+uk（6）,此即为圆柱面的矢量式参数方程。,其坐标式参数方程为,（6）（7）式中的，u为参数，其取值范围是,-，-u+,第三节 母线平行于坐标轴的柱面,1、引例:考虑方程x2+y2=R2所表示的曲面.,在xoy面上,x2+y2=R2 表示以原点O为圆心,半径为R的圆.,xoy面上的圆 x2+y2=R2 叫做柱
12、面的准线.,平行于 z 轴的直线 L 叫做柱面的母线.,曲面可以看作是由平行于 z 轴的直线L沿xoy面上的圆x2+y2=R2 移动而形成,称该曲面为圆柱面.,2、定义:平行于定直线并沿定曲线C移动直线 L 形成的轨迹叫做柱面.,定曲线C叫做柱面的准线.,动直线 L 叫做柱面的母线.,例1:方程 y2=2x 表示.母线平行于 z 轴的柱面,o,x,z,y,y2=2x,它的准线是xoy面上的抛物线y2=2x,该柱面叫做抛物柱面.,例2:方程 xy=0表示.,母线平行于 z 轴的柱面,它的准线是xoy面上的直线xy=0,所以它是过z轴的平面.,3、母线平行于坐标轴的柱面方程.,1 方程F(x,y)
13、=0 表示:,2 方程F(x,z)=0 表示:,3 方程F(y,z)=0 表示:,母线平行于 z 轴的柱面,准线为xoy面上的曲线 C:F(x,y)=0.,母线平行于 y 轴的柱面,准线为xoz面上的曲线 C:F(x,z)=0.,母线平行于 x 轴的柱面,准线为yoz面上的曲线 C:F(y,z)=0.,例3、下列方程各表示什么曲面？,（母线平行于z轴的椭圆柱面）,（母线平行于x轴的双曲柱面）,（母线平行于y轴的抛物柱面）,注：上述柱面的方程都是二次的，都称为二次柱面。,第四节 空间曲线及其方程,空间曲线的一般方程空间曲线的参数方程（1）矢量式参数方程（2）坐标式参数方程,空间曲线的一般方程,曲
14、线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,特点：,一、空间曲线的一般方程,例2、求在xOy 坐标面上，半径为R，圆心为原点的圆的方程。,解：,例1、写出Oz轴的方程。,解：,Oz轴可看成两个平面的交线，如,或,可见，空间曲线的一般方程的表示不是唯一的。,例3:球面 x 2+y 2+z 2=32与平面 z=2的交线是,x 2+y 2+z 2=32 z=2,一个圆,它的一般方程是,解:方程,方程.,它的准线xOy面上的圆,圆心在点,所以方程组表示上述半球面与圆柱面的交线.,（维维安尼曲线Viviani）,表示球心在原点O,
15、半径为a的上半球面.,表示母线平行于z 轴的圆柱面,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上动点的坐标x,y,z都表示成一个参数t的函数.,x=x(t)y=y(t)(2)z=z(t),当给定 t=t1时,就得到C上一个点(x,y,z),随着 t的变动便可得曲线C上的全部点.方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.,例5:如果空间一点 M 在圆柱面 x2+y2=a2 上以角速度 绕 z 轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数),那末点M 构成的图形叫做圆柱螺旋线,试建立其参数方程.,解:取时间t为参数,设当t=0时,动点位于x轴上的一点 A(a,0,0)处。,经过时间t,由
16、A运动到M(x,y,z),M在xOy面上的投影为M(x,y,0).,(1)动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转,所以经过时间t,AOM=t.从而,x=|OM|cosAOM=acos t,y=|OM|sinAOM=asin t,(2)动点同时以线速度v沿 z 轴向上升.因而,z=MM=vt,得螺旋线的参数方程,x=acos ty=asin tz=vt,注:还可以用其它变量作参数.,例如:令=t.为参数;螺旋线的参数方程为:,x=acos y=asin z=b,当从 0变到 0+是,z由b 0变到 b 0+b,即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比.,特别,当=2 时,M点上升高度h=2 b,在工
17、程上称 h=2 b为螺距.,例6 维维安尼曲线 一半径为a的球面与一个直径等于球的半径的圆柱面，如果圆柱面通过球心，则球面与圆柱面的交线称为维维安尼曲线，试写出其一般方程和参数方程。,解：一般方程,参数方程,三、空间曲线在坐标面上投影,设空间曲线C的一般方程,F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0,(3),由方程组(3)消去z后得方程,H(x,y)=0(4),方程(4)表示一个母线平行于z 轴的柱面,曲线C 一定在曲面上.,以曲线C为准线,母线平行于z 轴(即垂直xOy面)的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面,投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影曲线,或简称投影.,所以方
18、程所表示的曲线必定包含了空间曲线C在xOy面上的投影.,H(x,y)=0z=0,注:同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.,例1:已知两个球面的方程分别为:x2+y2+z2=1和 x2+(y 1)2+(z1)2=1求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.,解:联立两个方程消去 z,得,这是母线平行于z 轴的椭圆柱面,两球面的交线C在xOy面上的投影曲线方程为,解:半球面与锥面的交线为,由方程消去 z,得 x2+y2=1,这是一个母线平行于z 轴的圆柱面.于是交线C 在xoy面上的投影曲线为,x2+y2=1z=0,这是xoy面上的一个圆.,所以,所求立体在xoy面上的投影为:x2+y2 1,补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影.,空间立体,曲面,本章学习结束,谢谢大家,
