1、答案高考资料高考复习资料中考资料你永远是最棒的南京市 2019 届高三年级第三次模拟考试数学参考答案说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的
2、指定位置上）2313，2，2 2 5 3150 47 526 ，2 7 112 5 98 5 94 102 11x2y40 123 1314e2，4e二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分 14 分)2 7解：（1）因为点 P 的横坐标为 ，P 在单位圆上，为锐角，72 7所以 cos ， 2 分71所以 cos22cos21 4 分73 3 3 3（2）因为点 Q 的纵坐标为 ，所以 sin 6 分14 1413又因为为锐角，所以 cos 8 分142 7因为 cos ，且为锐角，所以 si
3、n7 217，4 3因此 sin22sincos ， 10 分7所以 sin(2) 4 31313 3 3 12 分7 14 7 14 2因为为锐角，所以 02又 cos20，所以 02 ，2高三数学答案 第 1 页 共 10 页自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的 又为锐角，所以 2 ，所以 2 14 分2 2 316(本小题满分 14 分)（1）证明：如图 1，连结 PEP 因为PBC 的边长为 2 的正三角形，E 为 BC 中点，M所以 PEBC， 2 分且 PE 3，同理 AE 3因为 PA 6，所以 PE2AE2PA2，所以 PEAE4 分因为 PEBC，PEAE，BCAEE，AE，
4、BC 平面 ABC，A COD EB 所以 PE 平面 ABC(图 1) 因为 PE平面 PBC，所以平面 PBC平面 ABC 7 分（2）解法一如图 1，连接 CD 交 AE 于 O，连接 OM因为 PD平面 AEM，PD平面 PDC，平面 AEM平面 PDCOM，所以 PDOM， 9 分PM DO所以 11 分PC DC因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点，CDAEO，DO 1所以 O 为ABC 重心，所以 ，DC 31 2所以 PM PC 14 分3 3解法二P 如图 2，取 BE 的中点 N，连接 PNM因为 D，N 分别为 AB，BE 的中点，所以 DNAEA C又 DN平面 A
5、EM，AE平面 AEM，所以 DN平面 AEM又因为 PD平面 AEM，DN平面 PDN，PD平面 PDN，DNPDD，D ENB所以平面 PDN平面 AEM 9 分(图 2)又因为平面 AEM平面 PBCME，平面 PDN平面 PBCPN，PM NE所以 MEPN，所以 11 分PC NC因为 E，N 分别为 BC，BE 的中点，NE 1 1 2所以 ，所以 PM PC 14 分NC 3 3 3高三数学答案 第 2 页 共 10 页自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的17(本小题满分 14 分)解：（1）连结 DC在ABC 中，AC 为 2 百米，ACBC，A 为 ，3所以CBA ，AB4，
6、BC2 3 2 分6因为 BC 为直径，所以BDC ，2所以 BDBC cos2 3cos 4 分 （2）在BDF 中，DBF ，BFD ，BD2 3cos，6 3DF BF BD所以 ， sinBFDsin( ) sin( )6 2所以 DF4cossin( )， 6 分6且 BF4cos2，所以 DEAF=44cos2， 8 分所以 DEDF44cos24 cossin()= 3sin2cos2362 sin(2 )3 12 分6因为 ，所以 5 2 ，3 2 2 6 6 所以当 2 ，即 时，DEDF 有最大值 5，此时 E 与 C 重合 13 分6 2 3答：当 E 与 C 重合时，两
7、条栈道长度之和最大 14 分18(本小题满分 16 分)解（1）离心率 ec 3，所以 c 3a，b a2c21 a 2 2 2a， 2 分x2 y2所以椭圆 C 的方程为 14b2 b28 3 16 9因为椭圆 C 经过点 P( ， )，所以 1，5 5 25b2 25b2所以 b21，所以椭圆 C 的方程为x2y21 4 分 4（2）解法一设 N(n，0)，(2)2 2 2当 l 斜率不存在时，A( ，y)，B( ，y)，则 y21 ，2455 5 254 2 2 4 4则 NA NB ( n)2y2( n2 n ， 6 分n)2245 5 5 5 25高三数学答案 第 3 页 共 10
8、页自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的 当 l 经过左右顶点时， NA NB (2n)(2n)n244 4令 n2 n n24，得 n4 8 分5 5 下面证明当 N 为(4，0)时，对斜率为 k 的直线 l：yk(x2)，恒有 NA NB 12 5设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2y21，421)x216k2x16yk(x2 5 25 5)，消去 y，得(4k k240，16 16k2 k24所以 x1x2 ，x1x2 ， 10 分5 254k21 4k21 所以 NA NB (x14)(x24)y1y2(x14)(x24)k2(x12)(x22) 5 5(k21)x1x2(42
9、k2)(x1x2)16 4k2 12 分 5 2516 16k24 k2(k21) k2) k2(42 16 425 55 254k21 4k21(k21)(16k24)16k2(42k2) 4k2(4k21) 1625 5 5 254k2116k24 4k211612 所以在 x 轴上存在定点 N(4，0)，使得 NA NB 为定值 16 分解法二设 N(n，0)，当直线 l 斜率存在时，设 l：yk(x2)， 5设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2y21，421)x216k2x16 k240，k240，yk(x2 5 25 5)，消去 y，得(4k16 16k2 k24所以 x1
10、x2 ，x1x2 ， 6 分5 254k21 4k21 所以 NA NB )(x1n)(x2n)y1y2(x1n)(x2n)k2(x12)(x225 5(k21)x1x2(n2k2)(x1x2)n2 4k2 5 25高三数学答案 第 4 页 共 10 页自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的16 16k24 k2(k21) k2) k2 8 分(n2 n2 425 55 254k21 4k21(k21)(16k24)16k2(n2k2) 4k2(4k21) n225 5 5 254k21 (16n16)k24 n2 12 分5 54k21 (16n16 (16n16)k24 )k24若 NA N
11、B 为常数，则 为常数，设 ，为常数，5 5 5 54k21 4k21则(16n16)k244k2对任意的实数 k 恒成立， 5 5所以16n16 5 54，所以 n4，4，4， 此时 NA NB 12 14 分(2)2 2 2当直线 l 斜率不存在时，A( ，y)，B( ，y)，则 y21 ，2455 5 254 2 2所以 NA NB ( 4)2y2( 12，4)2245 5 25 所以在 x 轴上存在定点 N(4，0)，使得 NA NB 为定值 16 分19(本小题满分 16 分)解：（1）因为 f (x)2x33ax23a2（a0），所以 f(x)6x26ax6x(xa)令 f(x)0
12、，得 x0 或 a 2 分当 x(，0)时，f(x)0，f (x)单调递增；当 x(0，a)时，f(x)0，f (x)单调递减；当 x(a，)时，f(x)0，f (x)单调递增2故 f (x)极大值f (0)3a20，解得 a 4 分3（2）g (x)f (x)6x2x33ax26x3a2（a0），则 g(x)6x26ax66(x2ax1)，x0，1当 0a2 时，36(a24)0，所以 g(x)0 恒成立，g (x)在0，1上单调递增，则 g (x)取得最大值时 x 的值为 1 6 分a当 a2 时，g(x)的对称轴 x 1，且36(a24)0，g(1)6(2a)0，g(0)60，2高三数学
13、答案 第 5 页 共 10 页自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的a a24所以 g(x)在(0，1)上存在唯一零点 x0 2当 x(0，x0)时，g(x)0，g (x)单调递增，当 x(x0，1)时，g(x)0，g (x)单调递减，a a24则 g (x)取得最大值时 x 的值为 x0 8 分2综上，当 0a2 时，g (x)取得最大值时 x 的值为 1；a a24当 a2 时，g (x)取得最大值时 x 的值为 9 分2（3）设 h (x)f (x)f (x)2x33(a2)x26ax3a2，a2则 h (x)0 在a， 有解 10 分 22a2 a24h(x)6x2(a2)xa6(x )
14、2 ，2 4a a2 a 3因为 h(x)在( ， )上单调递减，所以 h(x)h( ) a20，2 2 2 2a a2所以 h (x)在( ， )上单调递减，2 2a所以 h( )0，即 a33a26a40 12 分2设 t (a)a33a26a4（a0），则 t (a)3a26a6，当 a(0，1 2)时，t (a)0，t (a)单调递减；当 a(1 2，)时，t (a)0，t(a)单调递增因为 t (0)40，t (1)40，所以 t (a)存在一个零点 m(0，1)， 14 分因为 t (4)40，t (5)240，所以 t (a)存在一个零点 n(4，5)，所以 t (a)0 的解集
15、为m，n，故满足条件的正整数 a 的集合为1，2，3，4 16 分20(本小题满分 16 分)解：（1）当 n2 时，anSnSn12n22(n1)24n2，又 a1S12412，所以 an4n2 2 分所以 an|an1an2|4n244(n1)2 为数列an的第 n1 项，因此数列an为“T 数列” 4 分（2）因为数列an是公差为 d 的等差数列，所以 an|an1an2|a1(n1) d|d|因为数列an为“T 数列”，所以任意 nN*，存在 mN*，使得 a1(n1) d|d|am，即有(mn) d|d|6 分若 d0，则存在 mn1N*，使得(mn) d|d|，若 d0，则 mn1
16、高三数学答案 第 6 页 共 10 页自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的此时，当 n1 时，m0 不为正整数，所以 d0 不符合题意综上，d0 8 分（3）因为 anan1，所以 an|an1an2|anan2an1又因为 ananan2an1an2(an1an)an2，且数列an为“T 数列”，所以 anan2an1an1，即 anan22an1，所以数列an为等差数列 10 分设数列an的公差为 t(t0)，则有 an1(n1)t，2 2由 anan1anan1，得 1(n1)tt2(2n1)t1nt，12 分整理得 n(2t2t)t23t1， n(t2t2)2tt21 t23t1若 2
17、t2t0，取正整数 N0 ，2t2t则当 nN0 时，n(2t2t)(2t2t) N0t23t1，与式对于任意 nN*恒成立相矛盾，因此 2t2t0同样根据式可得 t2t20，1所以 2t2t0又 t0，所以 t 21经检验当 t 时，两式对于任意 nN*恒成立，21 n1所以数列an的通项公式为 an1 (n1) 16 分2 2高三数学答案 第 7 页 共 10 页自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的南京市 2018 届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2018.05说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分
18、细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数21【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分 请 在 答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲证明：连结 MN，则BMNBCA， 2 分又MBNCBA，因此MBNCBA 4 分所以ABBNAC MN 6 分1 BN又因为
19、 AC AB，所以 2，即 BN2MN 8 分2 MN又因为 BN2AM，所以 AMMN，所以 CM 是ACB 的平分线 10 分B选修 42：矩阵与变换解：因为 A1 20 1，B2 00 1，所以 AB2 20 1 4 分设点 P0(x0，y0)是 l 上任意一点，P0 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到 P(x，y)因为 P0(x0，y0)在直线 l: xy20 上，所以 x0y020 由 ABx0y0xy，即2 20 1x0y0xy，得2 x02 y0x，y0y，6 分即1x0 xy，2y0y将代入得 x4y40，所以直线 l1 的方程为 x4y40 10 分高三数学答案 第 8 页
20、共 10 页自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的C选修 44：坐标系与参数方程解：解法一在直线sin( ) 3中，令0，得2.3所以圆 C 的圆心坐标为 C(2，0) 4 分因为圆 C 经过点 P(2， )，3所以圆 C 的半径 PC 22+22222cos 2， 6 分3所以圆 C 的极坐标方程4cos 10 分解法二以极点为坐标原点，极轴为 x 轴建立平面直角坐标系，则直线方程为 y 3x2 3，P 的直角坐标为(1， 3)，令 y0，得 x2，所以 C(2，0)， 4 分所以圆 C 的半径 PC (21)2+(0 3)2=2， 6 分所以圆 C 的方程为(x2)2(y0)24，即 x2y
21、24x0， 8 分所以圆 C 的极坐标方程4cos. 10 分D选修 45：不等式选讲解：因为(121212)( 2ab)2( 2bc)2( 2ca)2(1 2ab1 2bc1 2ca)2，即( 2ab 2bc 2ca)29(abc) 4 分因为 abc1，所以( 2ab 2bc 2ca)29， 6 分所以 2ab 2bc 2ca3，当且仅当 2ab 2bc 2ca，即 abc1时等号成立 3所以 2ab 2bc 2ca的最大值为 3. 10 分【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分22（本小题满分 10 分）解：（1）因为点 A(1，a) (a0)是抛物线 C 上一点，且 AF=2，p所以 12，所以 p2. 3 分2（2）解法一由(1)得抛物线方程为 y24x因为点 A(1，a) (a0)是抛物线 C 上一点，所以 a2 4 分设直线 AM 方程为 x1m (y2) (m0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由x1m (y2)， y24x，消去 x，得 y24m y8m40，即(y2)( y4m2)0，所以 y14m2 6 分1因为 AMAN，所以m4
