1、可化为一元一次方程的分式方程17.3 可化为一元一次方程的分式方程激活思维 1看下面的问题：某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25小勇家去年12月份的水费为18元，今年5月份的水费为36元已知小勇家去年12月份的用水量比今年5月份的用水量少6立方米，问去年该市居民用水的价格（1）根据题目中的等量关系设出未知数列出方程；（2）指出此方程是整式方程还是分式方程 2分式方程作为一种新方程，如何求出分式方程的解是一个必须解决的问题因为整式方程的解法已经熟悉，你能想出办法把分式方程转化为整式方程，再借助于整式方程求出分式方程的解吗?比如：，这个方程如何求解？ 3方程有增根，试写出它的增
2、根 4自从上次赛跑乌龟大胜兔子后，乌龟便成了体育界的名人，又是广告，又是讲演，活动不断可蚂蚁偏偏不服气，向乌龟下了挑战书，我们来看：比赛结束后，蚂蚁并没有取胜已知乌龟每分钟比蚂蚁多跑02米，提前1分钟跑到，请你算算它们各自的速度信息鼠标1（1）设去年该市居民用水的价格为x元，则今年该市居民用水的价格为（1+25）x元，则： （2）此方程是分式方程 2因为分式方程与整式方程的不同是分母中含有未知数，所以去掉分式方程的分母是解决问题的关缝对于本题的方程两边同乘(x+1)(x+3)，得3(x+3)5（x1）。解这个方程得：x=2 检验：当x=2时，(x+1)(x+3)0 原方程的解是x=2 3在解分
3、式方程时，有时得到的未知数的值，使原分式方程的分母为零，这样的根叫原分式方程的增根，因此的增根应使x+5=0。即x一5 4解：设蚂蚁每分钟跑x米，乌龟每分钟跑(x+0.2)米 依题意，得 解得x=1 检验：x=1是方程的根 x+0.2=1+0.2=1.2 答：蚂蚁每分钟跑1米，乌龟每分钟跑1.2米互动研学教练教材研学 一、可化为一元一次方程的分式方程的解法 1数字系数分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为整式方程求解去分母即在方程两边同乘以最简公分母，若分母可以分解因式，应首先分解由整式方程得到的解，需代人最简公分母中检验，使最简公分母不为零的解，才是原方程的解；使最简公分母
4、为零的解，是原方程的增根，应舍掉2含有字母系数的分式方程的解法 此类方程与数字系数分式方程的解法基本相同，只是在系数化为1时要讨论系数是否为零3增根增根的产生是由于在去分母时，方程两边同乘的整式恰好为零所致是方程变形造成的，不是解题错误方程的增根不是分式方程的根但是增根是变形后所得到的整式方程的根4分式方程有增根与无解的关系不仔细推敲，会认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事事实上并非如此分式方程有增根，指的是解分分式方程求出的根是原分式方程变形后所得整式方程的根，但不是原分式方程的根，即这个根使最简公分母为0比如：方程，可解得：x=3，而x=3是原方程的增根，此方程无解本题中，分式方程有
5、增根，方程无解，但并不是说只要有增根方程就无解，等大家进入高年级，学习了更多的知识，会发现有增根的分式方程并不全是无解的问题：若关于x的方程无解，求m的值。探究：（1）将分式方程去分母，整理为：（1一m）x一4 m 当1一m=0，而4m0时方程无解此时，m=l （依据是形如ax=b的方程在a=0，b0时无解）（2）如果方程的解恰好是原分式方程的增根，原分式方程无解根据这种思路，可先确定增根后，再求m的值原方程若有增根，增根为x3，把x3代入方程中，求出m一3综上所述，m1或m一3时，原分式方程无解而此分式方程有增根时，m一3结论：通过本例可以发现，（1）现阶段学习的分式方程有增根时，一定无解；
6、（2）分式方程无解，可能是因为有增根，也可能是由分式方程转化所得的整式方程ax=b中的a=0、b0造成的三分式方程的应用1列分式方程客观世界中存在大量的问题需要用分式方程去解决，当我们掌握好相关的知识和方法后，就可以运用它们分析和解决实际问题 此类题目接近生活，取材广泛，做题时，要注意题目的情境，弄清是行程问题、增长率问题等中的哪一类，当然也有一些跨学科的综合题，比如：杠杆问题等，无论哪一类都要根据相关的基本量寻找关系2列分式方程解应用题的一般步骤： 弄清题意；设未知数，列出有关的代数式；依题意找等量关系，列出分式方程；解方程；检验：一方面要检验所求出的解是否为原方程的根，另一方面还要检验所求
7、的解是否符合实际意义；答。3编写符合一定条件的分式方程(开放型题目)这类开放型的题目，能很好地反映学生水平的高低，不同层次的学生都能解答此类题，这是对学生综合能力的考查点石成金例1解方程 分析：此类题目考查的是分式方程的解法，只需按照解分式方程的步骤求解解：方程两边同乘以(x+1)(x1)，去分母得，63(x+1)=2(x一1)，解这个方程得，x=1检验：当x=1时，x一1=0，所以，x=1是原方程的增根，原方程无解。名师点金：分式方程的解法步骤：同乘最简公分母，化成整式写清楚，求得解后须验根，原（根）留、增（根）舍别含糊 在公式l中，求x（m、n为常量，且m2n） 分析：在此题中x是未知量，
8、m、n为常量，方程本身有意义，题目中隐含着x+n0与x0的条件，本题实际上是一个以x为未知量的、含有字母系数的分式方程 方程两边同乘以(x+n)x得，(xm)x一(x+n)n=(x+n)x， 整理，得n2+mx一nx一n2x2nx，(m一2n)x=n2 m2nm一2n0 。名师点金：做这类题最容易犯的错误是在系数化为1时，不进行讨论例3已知：分式方程有增根，求a的值分析：本题考查了对增根的理解，根据增根的意义，x1虽不是的根，但x1是由原方程得到的ax1x1的根解：去分母，原方程可化为ax+1=x一1 原分式方程有增根， x=1是方程ax+1xl的根，把x=l代入ax+1x一1中，解得，a一1
9、名师点金：做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值例4任意写出一个以x3为根，且可以化为一元一次方程的分式方程分析：此题不仅考查了分式方程、整式方程和解方程的知识，而且还考查了学生的逆向思维能力答案有无数个，只需写出一个符合条件的答案即可 解： 名师点金：解这类题除直接写出最简单的答案外，还可以先写出一个整式方程，然后再将方程两边同时倒过来，如：由2x3x，得，例5要想富，先修路某市要修筑一条4 000米长的公路，为了使广大市民尽快用上这条路，实际施工时_，设原计划每天修路x米，则可得方程根据此
10、情境，题中用空白处缺少的条件是什么? 解析：x+10表示每天比原计划多修10米，表示实际施工的天数，方程左边表示原计划所需天数与实际施工天数的差，故可得出结论 答案：要填的条件是：每天比原计划多修10米，结果提前20天完成任务名师点金：本题除考查工程问题中的基本量外，更主要的是考查学生的创新、分析、综合问题的能力要解决这类问题，首先认阅读题目，分析除缺失的条件以外的其他条件与结论之间的关系，采取“两头凑”的方法，达到目的例6：某中学库存960套旧桌凳修理后捐助贫困山区学校现有甲，乙两个木工小组都想承揽这项业务经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天比甲小组多修8套；学
11、校每天需付给甲小组修理费80元，付给乙小组120元。 （1）求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套? （2）在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天10元的生活补助现有以下三种修理方案供选择： 由甲单独修理；由乙单独修理；由甲、乙共同合作修理，你认为哪种方案既省时又省钱?试比较说明 等量关系有：乙小组每天比甲小组多修8套：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天如果设甲小组每天修x套，那么乙小组每天修(x+8)套，利用等量关系甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天就能列出方程 （1）设甲小组每天修理桌凳x套。则乙小组每天修理(x+8)套，依题意得， 解这个分式方
12、程得，x=16 经检验，x=16是原方程的根并且符合题意。 x+8=16+8=24 所以，甲小组每天修理桌凳16套乙小组每天修理24套 （2）若甲小组单独修理则需9601660（天） 总费用：6080+6010=5 400 （元）。 若乙小组单独修理，则需96024=40天 总费用：40120+40105200（元）： 若甲、乙两小组合作：则需960（2416）24（天）， 总费用：（80+120）2424105040（元） 所以，第种方案既省时又省钱。 名师点金：选择最佳方案的问题有两种常用的方法：(1)计算法，通过对所有方案的计算，找出每一种方案所需要的条件，比较得出最好的方案（2）推理法
13、，通过逻辑椎理，分析判断选出最好方案。同步演练基础巩固题1关于x的方程的解为x=1，则a为 ( ) A1 B3 C一1 D一32某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为 ( ) A B C D 3已知方程的解与方程的解相同，求m4解方程： 5近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨。请你根据图1731的信息，帮小明计算今年五月份汽油的价格（只列出方程不求解）6据联合国2003年全球投资报告指出，中国2002年吸收外国投资额达530亿美元，居全球第二位，比上一年增加了13设2001年我国吸收外国投资额
14、为x亿美元，请你写出x满足的方程 （1）你能写出几个? （2）其中哪一个是分式方程?7小强家、王老师家、学校在同一条路上，小强家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为05千米，由于小强的父母战斗在抗“禽流感”第一线，为使他能按时到校，王老师每天骑自自车接他上学已知王老师骑自行车的速度为步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用20分钟，问王老师骑自行车的速度是每小时多少千米?探究提高题8在一次物理测验中，有m个同学得a分，n个同字 得b分，则这部分同学的平均分数是 ( ) A B C D 9已知关于x的方程的解为x，则m_。10已知方程有增根，求k的值11某单位将沿街的一部分房屋出租，每
15、间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋的租金第一年为96万元，第二年为102万元 （1）你能找出这一情境中的研究对象吗? （2）你能找出这一情境中的等量关系吗? （3）根据这一情境你能提出哪些问题? （4）解决提出的问题拓展延伸题阅读下列材料：方程的解是x=1；方程的解是x=2；方程的解是x3；（1）请观察上述方程与解的特征给出能反映方程一般规律的方程，并求出这个方程的解；（2）根据（1）中得到的结论，写出一个解为一10的分式方程13看下面的问题： 济宁到济南公路长360千米，为适应两地经济发展的要求，客车的速度每小时比原来增加了10千米，这样使客车由济宁到济南的时间减少了2小时，求客
16、车原来以及现在的速度 若设客车原来的速度为每小时x千米，则由题意 可得方程为：；若设客车提速后的速度为每小时x千米，则由题意可得方程为：请仿照上面的应用题，编一道类似的应用题，满足下面的两个条件： （1）不改变分式方程的形式；（2）改变实际背背景和数据 142004年8月中旬，某市受台风“云娜”的影响后，部分街道路面积水比较严重，为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为1200m的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工若甲、乙两队合做需12天完成此项工程；若甲队先做了8天，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天?又已知甲队每施工一天需要费用2万元，乙队每施工一天
17、需要费用1万元，要使完成该工程所需费用不超过35万元，则乙工程队至少要施工多少天?中考模拟题15（2006浙江绍兴）当x_时，分式的值为0。 16（2006天津）某农场开挖一条长960米的渠道， 开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少米? 解题方案 设原计划每天挖x米， （1）用含x的代数式表示： 开工后实际每天挖_米， 完成任务原计划用_天，实际用_天： （2）根据题意，列出相应方程_。17（2006浙江绍兴）解方程18（2006浙江绍兴）在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程 队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成 （1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数； （2）求两队合做完成这项工程所需的天数
