1、第一篇 知识 方法 固基,第一单元数与式,第1讲实数的相关概念与运算,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点六,考点七,考点一实数的概念1.实数的分类(1)按定义分:,(2)按正负分:,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点六,考点七,2.正负数的意义我们把如零上温度、高于海平面高度等记为正数,而把与它相反意义的量,如零下温度、低于海平面高度等记为负数.3.数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.实数与数轴上的点是一一对应的.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点六,考点七,考点二相反数、绝对值、倒数(高频)1.相反数(1)只有符号不同的两个数,叫做互为相反数,零的
2、相反数是零.(2)实数a,b互为相反数a+b=0.2.绝对值(1)在数轴上,一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离.(2)一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0,即,3.倒数(1)乘积为1的两个数,叫做互为倒数,实数a,b互为倒数ab=1.(2)非零实数a(a0)的倒数是;零没有倒数.特别地,倒数是它本身的数是1.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点六,考点七,考点三科学记数法与近似数(高频)1.科学记数法一般地,绝对值大于10的数可记为a10n的形式,其中1|a|10,n为原数的整数位数减1,这种记数的方法叫做科学记数法.2.近似数一般地,一个
3、近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点六,考点七,考点四平方根、算术平方根与立方根1.平方根一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做二次方根,记为.一个正数的平方根有两个,它们互为相反数,0的平方根是0,负数没有平方根.2.算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记为,0的算术平方根是0.3.立方根如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根,也叫做三次方根,记为.正数的立方根是一个正数,负数的立方根是一个负数,0的立方根是0.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点六,考点七,考点五无理数的估
4、算(高频)对无理数的估值,一般先对其平方,找出与平方后所得数字左右相邻的两个开得尽方的整数,并对其进行开方,就可以确定这个根式在哪两个整数之间.例如,估算 在哪两个整数之间时,先对 平方,找出与7左右相邻的两个开得尽方的整数4和9,因为479,所以,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点六,考点七,考点六实数的大小比较1.数轴上两个点表示的数,右面的点表示的数总比左面的点表示的数大.2.正数大于0,负数小于0,正数大于负数;两个负数比较大小,绝对值大的小于绝对值小的.3.其他常用比较方法(1)差值比较法.依据:若a-b0,则ab;若a-b0,b0,若 1,则ab;若=1,则a=b;若 1
5、,则ab.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点六,考点七,考点七实数的运算(高频)1.实数的每一步运算都要先确定结果的符号,再确定结果的绝对值.2.运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;如果有括号,先算括号里面的,同一级运算按照从左到右的顺序依次进行.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点六,考点七,3.常考运算及法则,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点1相反数、绝对值、倒数的概念,2.(2016,1,4分)-2的绝对值是(B)A.-2B.2C.2 D.,3.(2013,1,4分)-2的倒数是(A),解析 根据绝对值的意义求出-2的绝对值是
6、2,故选B.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点2有理数的大小比较4.(2015,1,4分)在-4,2,-1,3这四个数中,比-2小的数是(A)A.-4B.2C.-1D.3,5.(20174,4分)截至2016年底,国家开发银行对“一带一路”沿线国家累计发放贷款超过1 600亿美元.其中1 600亿用科学记数法表示为(C)A.161010B.1.61010C.1.61011D.0.161012,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点3科学记数法,6.(2016,3,4分)2016年3月份我省农产品实现出口额8 362万美元,其中8 3
7、62万用科学记数法表示为(A)A.8.362107B.83.62106C.0.836 2108D.8.362108,解析 8 362万=83 620 000=8.362107,故选A.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,7.(2015,3,4分)移动互联网已经全面进入人们的日常生活.截至2015年3月,全国4G用户总数为1.62亿,其中1.62亿用科学记数法表示为(C)A.1.62104B.162106C.1.62108D.0.162109,解析 1.62亿=162 000 000=1.62108,故选C.,8.(2013,2,4分)用科学记数法表示537万正确的是(
8、C)A.5.37104B.5.37105C.5.37106D.5.37107,解析 537万=5 370 000=5.37106,故选C.,9.(2014,11,5分)据报载,2014年我国将发展固定宽带接入新用户25 000 000户,其中25 000 000用科学记数法表示为2.5107.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点4数的开方,10.(2017,11,5分)27的立方根是3.11.(2015,11,5分)-64的立方根是-4.,解析 因为(-4)3=-64,所以-64的立方根是-4.,命题点5无理数的估算12.(2015,5,4分)与1+最接近的整数
9、是(B)A.4B.3C.2D.1,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,13.(2014,6,4分)设n为正整数,且n n+1,则n的值为(D)A.5B.6C.7D.8,解析 本题考查了无理数的估算,先估算出无理数的范围,再用逼近法确定最接近的整数值.因为22532,所以2 3.又2.2252.32,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,命题点6实数的运算14.(2014,1,4分)(-2)3的结果是(C)A.-5B.1C.-6D.6,16.(2016,15,8分)计算:(-2 016)0+tan 45.解 原式=1-2+1 4分=0.8分,解析 原
10、式=-23=-6.故选C.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点5,命题点6,17.(2014,15,8分)计算:-|-3|-(-)0+2 013.解 原式=5-3-1+2 0134分=2 014.8分18.(2013,15,8分)计算:2sin 30+(-1)2-|2-|.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,考法1实数及其分类,答案:C解析:,整数和分数都是有理数,圆周率是无限不循环小数,是无理数.故选C.,方法总结初中阶段常见的4种无理数:(2)有规律但是不循环的无限小数,如0.303 003 000 300 00(两个3之间依次多一个0)等;,(4)某些特
11、殊角的三角函数值,如sin 60,tan 30.,1.(2017四川成都)九章算术中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是:今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数.若气温为零上10 记作+10,则-3 表示气温为(B)A.零上3 B.零下3 C.零上7 D.零下7,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,对应训练,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,2.(2016浙江金华)如图是加工零件的尺寸要求,现有下列直径尺寸的产品(单位:mm),其中不合格的是(B)A.45.02B.44.9C.44.98D.45.01,解析 45+0.03=45.03,4
12、5-0.04=44.96,零件的直径的合格范围是44.9645.03.44.9不在该范围内,B不合格.故选B.,3.(2017湖北黄石)下列各数是有理数的是(A),考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,考法2实数的相关概念,方法总结此题考查了绝对值的性质,要求掌握绝对值的性质及其定义,并能熟练运用到实际运算中.绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.求一个数的相反数,直接在这个数的前面加上负号,有时需要化简得出;乘积是1的两个数互为倒数,0没有倒数,倒数等于本身的数是1或-1.解有关绝对值和数轴问题时,常用到字母表示数的思想、分类
13、讨论思想和数形结合思想.,答案:A,4.(2017广东广州)如图,数轴上两点A,B表示的数互为相反数,则点B表示的数为(B)A.-6B.6C.0D.无法确定,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,对应训练,解析:只有符号不同的两个数互为相反数,-6的相反数是6,即点B表示6.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,考法3科学记数法例3(2010)2010年一季度,全国城镇新增就业人数为289万人,用科学记数法表示289万正确的是()A.2.89107B.2.89106C.2.89105D.2.89104答案 B解析 289万=2 890 000=2.8910
14、6,故选B.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,方法总结科学记数法的表示形式为a10n,其中1|a|10,n为整数.(1)对于一个很大的数,n为原数的整数位数减1;对于一个大于0小于1的数,n是负整数,它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点左边的零).(2)对于含有计数(量)单位的数,先把计数(量)单位化成数字,再用科学记数法表示.常见的记数单位有:1千=103,1万=104,1亿=108.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,对应训练,5.(2017甘肃酒泉)据报道,2016年10月17日7时30分28秒,神舟十一号载人飞船在甘
15、肃酒泉发射升空,与天宫二号在距离地面393 000米的太空轨道进行交会对接,而这也是未来我国空间站运行的轨道高度,393 000用科学记数法可以表示为(B)A.39.3104B.3.93105C.3.93106D.0.393106,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,6.(2017山西)2017年5月18日,我国宣布在南海神狐海域成功试采可燃冰,成为世界上首个在海域连续稳定产气的国家.据粗略估计,仅南海北部陆坡的可燃冰资源就达到186亿吨油当量,达到我国陆上石油资源总量的50%.数据186亿吨用科学记数法可表示为(C)A.186108吨B.18.6109吨C.1.86101
16、0吨D.0.1861011吨,7.(2017四川眉山)某微生物的直径为0.000 005 035 m,用科学记数法表示该数为(A)A.5.03510-6B.50.3510-5C.5.035106D.5.03510-5,解析:186亿吨=18 600 000 000吨=1.861010吨.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,考法4平方根、算术平方根与立方根,例4(2017湖北咸宁)8的立方根是.答案:2解析:23=8,8的立方根是2.方法总结一个正数的平方根有两个,其中正的平方根是算术平方根.0的算术平方根是0.任何实数的立方根只有一个.正数的立方根是正数,负数的立方根是负
17、数,零的立方根是零.注意:常见的非负数有实数的绝对值:|a|0;实数的平方:a20;非负实数的算术平方根:0.如果a,b,c都是实数,且满足a2+|b|+=0,那么根据非负数的性质,有a=0,b=0,c=0,由非负数的性质可求多个未知数的值.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,对应训练,8.(2017浙江宁波)实数-8的立方根是-2.,10.(2016山东烟台)已知|x-y+2|+=0,则x2-y2的值为-4.,解析:本题考查非负数的性质.|x-y+2|-=0,x-y+2=0,x+y-2=0.x-y=-2,x+y=2,x2-y2=(x-y)(x+y)=-4.,考法1,考法
18、2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,考法5实数的大小比较例5(2016江西)下列四个数中,最大的一个数是()A.2B.C.0D.-2答案 A解析 由正数大于0,负数小于0,知2和 较大,又根据无理数的估算知1 2,所以这四个数中,最大的数是2,故选A.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,对应训练,11.(2017辽宁大连)在实数-1,0,3,中,最大的数是(C)A.-1B.0C.3D.,12.(2017江苏南通)在0,2,-1,-2这四个数中,最小的数为(D)A.0B.2C.-1D.-2,13.(2016山东泰安)如图,四个实数m,n,p,q在数轴上对应的点分别为
19、M,N,P,Q,若n+q=0,则m,n,p,q四个实数中,绝对值最大的一个是(A)A.pB.qC.mD.n,解析 n+q=0,n和q互为相反数,0在线段NQ的中点处.绝对值最大的是点P表示的数p.故选A.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,考法6无理数的估算,答案:,方法总结估算无理数大小一般用平方法,先对要估算的无理数平方,再找紧邻平方后的数且能开方的两个数,无理数就在找到的这两个数之间.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,对应训练,14.(2017重庆)估计+1的值应在(B)A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间,15.(201
20、7浙江温州)下列选项中的整数,与 最接近的是(B)A.3B.4C.5D.6,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,考法7实数的运算,方法总结实数运算要熟练运用各个运算法则、零指数与负整数指数、特殊角的三角函数值等计算.一般运算顺序是先乘方、开方,再乘、除,后加、减,有括号的先算括号,同一级运算从左到右依次进行运算.注意零指数、负整数指数的意义,防止以下错误:3-2=-;遇到带绝对值的先去绝对值符号再运算.无论何种运算,都要注意先定符号后运算.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,考法7,对应训练16.(2009)计算:|-2|+2sin 30-(-)2+(tan 45)-1.解 原式=2+1-3+1=1.,
