菱形的判定练习题.docx
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菱形的判定练习题.docx
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菱形的判定练习题
菱形的判定练习题
一、选择题
1.菱形和矩形一定都具有的性质是
A.对角线相等.B.对角线互相平分.
C.对角线互相垂直.D.每条对角线平分一组对角.
2.四边相等的四边形是
A.菱形B.矩形C.正方形D.梯形
3.菱形是轴对称图形,它的对称轴有
A.1条B.2条C.3条D.4条
4.如图19-2-2-14,在菱形ABCD中,E、F、G、H分别是菱形四边的中点,连结EG与FH交于点O,则图中的菱形共有
A.4个B.5个C.6个D.7个
图19-2-2-14
5.在菱形ABCD中,AC=6,BD=8,则菱形的边长为
A.B.10C.D.8
6.如图19-2-2-15,在菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则对角线AC等于
A.20B.1C.10D.5
图19-2-2-15
7.如图19-2-2-16,在菱形ABCD中,E、F分别是AB、AC的中点,如果EF=2,那么ABCD的周长是
A.B.C.1D.16
图19-2-2-16
8
.已知菱形的边长和一条对角线的长均为
为
A.3cmB.4cmC.D.,则菱形的面积
9.下列条件之一能使□ABCD是菱形的为
①AC⊥BD②∠BAD=90°③AB=BC④AC=BD
A.①③B.②③C.③④D.①②③
10.下列说法正确的是
A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形
D.对角线相等的四边形是菱形
11.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是
A.平行四边形B.正方形C.矩形D.菱形
12.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图19-2-2-17
所示,
,则点B的坐标为
A.B.C
.D.
图19-2-2-17
13.如图19-2-2-18,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,E、F分别是BC、CD的中点,连接AE、EF、AF,则△AEF的周长为
A.B.C
.D.3
图19-2-2-18
14.如图19-2-2-19,将一个长为10cm,宽为8cm的矩形纸片对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线剪下,再打开,得到的菱形的面积为
A.10cmB.20cmC.40cmD.20cm2
图19-2-2-19
15.将矩形纸片ABCD按如图19-2-2-20所示的方式折叠,得到菱形AECF.若AB=3,则BC的长为
A.1B.C.D
.
图19-2-2-20
二、填空题
16.若一个菱形的周长是40cm,它的一条对角线长10cm,则菱形相邻的两个角度数分别是.
17.如图19-2-2-21,P为菱形ABCD的对角线上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AD于点F,PF=3cm,则P点到AB的距离是.
图19-2-2-21
18.已知菱形的一个内角为60°,一条对角线的长为
一条对角线的长为.,则另
19.已知菱形的周长为40,一条对角线长为12,则这个菱形的面积为.
20.如图19-2-2-22,一活动菱形衣架中,菱形的边长均为16cm若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm,则∠1=度.
图19-2-2-22
21.如图19-2-2-23,在菱形ABCD中,∠ADC=72°,AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连接CP,则________度.
图19-2-2-23
22.如图19-2-2-24,在菱形ABCD中,AC、BD相交于点O,DE⊥BC于点E,且DE=OC,OD=2,则AC
菱形的判定
学习目标:
掌握菱形的判定方法,并灵活应用判定方法解题
菱形的判定常用方法:
练习:
1.下列四边形中不一定为菱形的是
A.对角线相等的平行四边形B.每条对角线平分一组对角的四边形
C.对角线互相垂直的平行四边形D.用两个全等的等边三角形拼成的四边形
2.四个点A,B,C,D在同一平面内,从①AB∥CD;②AB=CD;③AC⊥BD;④AD=?
?
BC;?
?
⑤AD∥BC.这5个条件中任选三个,能使四边形ABCD是菱形的选法有.
A.1种B.2种C.3种D.4种
3.如图1所示,已知□ABCD,AC,BD相交于点O,?
添加一个条件使平行四边形为菱形,添加的条件为________.
图1图2
4.如图2所示,D,E,F分别是△ABC的边BC,CA,AB上的点,且DE∥AB,DF∥CA,要使四边形AFDE是菱形,则要增加的条件是________.
5.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD=BC,四边形ABCD是菱形吗?
?
说明理由.
6.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,PD∥AC,PC∥BD,PD,PC相交于点P,四边形PCOD是菱形吗?
试说明理由.
课堂作业:
1、在平面直角坐标系中,已知点A,B,C,D,则以这四个点为顶点的四边形ABCD是
A、矩形B、菱形
C、正方形D、梯形
2、用两个全等的等边三角形,可以拼成下列哪种图形
A、矩形B、菱形
C、正方形D、等腰梯形
3、汶川地震后,吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”,号召市民为四川受灾的人们祈福.人们将绿丝带剪成小段,并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前,如图所示,绿丝带重叠部分形成的图形是
A、正方形
C、菱形D、矩形B、等腰梯形
4.如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC的平分线BD?
交AC于点D,CH⊥AB于H,且交BD于点F,DE⊥AB于E,四边形CDEF是菱形吗?
请说明理由.
5.如图所示,已知△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,过点D?
作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,再过E,F作EG⊥AC,FH⊥AB,垂足分别为G,H,且EG,?
FH相交于点K,试说明EF和DK之间的关系.
HABDFHEA
GEBDC
参考答案
1.A2.D.AB=BC还可添加AC⊥BD或∠ABD=∠CBD等.
4.点D在∠BAC的平分线上
5.解:
四边形ABCD是菱形,因为四边形ABCD中,AB∥CD,且AB=CD,所以四边形ABCD是平行四边形,又因为AB=BC,所以ABCD是菱形.
6.解:
四边形PCOD是菱形.四边形PCOD是平行四边形.又因为OC=OD,
1.B2.B3.C
4.解法一:
四边形CDEF是菱形.理由:
如图所示,因为△CBD≌△EBD,所以CD=DE,?
因为∠1+∠4=90°,∠2+∠5=90°,∠1=∠2,∠3=∠5,?
所以∠3=∠4.所以CF=CD.所以CF=DE.因为CF//DE.?
所以四边形CDEF是平行四边形.又因
为CF=CD,所以□CDEF是菱形.
解法二:
如答图20-3-4所示,连结CE交DF于点O.
因为△BCD≌△BED.所以BC=BE.又因为∠1=∠2,所以
BD⊥CE,且OC=OE.
因为∠1+∠4=90°,∠2+∠5=90°,∠1=∠2,∠3=∠5,
所以∠3=?
?
∠4.所以CF=CD.又因为CE⊥DF,所以OF=OD.所以四边形CDEF是平行四边形,?
又因为DF⊥CE,所以CDEF是菱形.
点拨:
解法一利用了菱形的定义,?
解法二利用了“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的方法,本题除以上两种解法外,还可利用“四条边都相等的四边形是菱形”的方法解决.
5.解:
EF与DK互相垂直平分.理由:
因为DE⊥AB,FH⊥AB,所以DE∥FH.?
因为DF⊥AC,EG⊥AC,所以DF∥EG.所以四边形DEKF是平行四边形.
因为AB=AC,所以∠B=∠C.又因为BD=CD,∠BED=∠CFD=90°,
所以△BDE≌△CDF,所以DE=DF.所以DEKF是菱形,?
所以EF与DK互相垂直平分.
点拨:
要说明EF与DK互相垂直平分,只要说明四边形DEKF是菱形,?
要说明四边形DEKF是菱形,可先说明四边形DEKF是平行四边形,再说明一组邻边相等即可.?
特殊的平行四边形——菱形
一.菱形的定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
二.菱形的性质:
菱形具有平行四边形一切性质,此外,它还具有如下特殊性质:
1.菱形的四条边相等。
.菱形的两条对角线互相垂直,且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形,两条对角线所在的直线是它的两条对称轴。
三.菱形的判定办法:
1.用菱形的定义:
有一组邻边相等的平行四边形是菱形;.四条边都相等的四边形是菱形;
3.对角线垂直的平行四边形是菱形;.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
四.菱形的面积:
等于两条对角线乘积的一半.,周长=边长的4倍
复习:
1.如图,在△ABC中,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,且AF?
DC,连接CF.
求证:
D是BC的中点;若AB?
AC,试猜测四边形ADCF的形状,并证明.
解答:
证明:
AF∥BC,?
?
AFE?
?
DBE.∵E是AD的中点,?
AE?
DE.
又?
AEF?
?
DEB,?
△AEF≌△DEB.?
AF?
DB.∵AF?
DC,?
DB?
DC.
解:
四边形ADCF是矩形,证明:
∵AF∥DC,AF?
DC,?
四边形ADCF是平
行四边形.∵AB?
AC,D是BC的中点,?
AD?
BC.即?
ADC?
90.?
四边形ADCF是矩形.
菱形例题讲解:
1.已知点D在△ABC的BC边上,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.若AD平分∠BAC,
试判断四边形AEDF的形状,并说明理由.
解答:
四边形AEDF是菱形,∵DE∥AC,∠ADE=∠DAF,同理∠DAE=∠FDA,∵AD=DA,
∴△ADE≌△DAF,∴AE=DF;
∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形,∴∠DAF=∠FDA.∴AF=DF.∴平行四边形AEDF为菱形.
2.已知:
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点,求证:
四边形BCDE是菱形.证明:
∵AD⊥BD,∴△ABD是Rt△∵E是AB的中点,∴BE=DE,∴∠EDB=∠EBD,
∵CB=CD,∴∠CDB=∠CBD,∵AB∥CD,∴∠EBD=∠CDB,
∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD,∵BD=BD,∴△EBD≌△CBD,∴BE=BC,
∴CB=CD=BE=DE,∴菱形BCDE.
3.如图,△ABC与△CDE都是等边三角形,点E、F分别在AC、BC上,且EF∥AB,
求证:
四边形EFCD是菱形;设CD=4,求D、F两点间的距离.
解答:
证明:
∵△ABC与△CDE都是等边三角形,∴ED=CD=CE.∵EF∥AB
∴∠EFC=∠ACB=∠FEC=60°,∴EF=FC=EC∴四边形EFCD是菱形.
解:
连接DF,与CE相交于点G,由CD=4,可知CG=2,∴∴.
4.如图,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F.求证:
四边形AFCE是菱形.证明:
∵AE∥FC.∴∠EAC=∠FCA.又∵∠AOE=∠COF,AO=CO,∴△AOE≌△COF.
∴EO=FO.又EF⊥AC,∴AC是EF的垂直平分线.
∵EF是AC的垂直平分线.∴四边形AFCE为菱形
5.在
中,E,F分别为边AB,CD的中点,连接DE,BF,BD.
求证:
△ADE≌△CBF.
若AD?
BD,则四边形BFDE是什么特殊四边形?
请证明你的结论.
解:
在平行四边形ABCD中,∠A=∠C,AD=CB,AB=CD.∵E,F分别为AB,CD的
中点∴AE=CF,?
△AED≌△CF
若AD⊥BD,则四边形BFDE是菱形.证明:
AD?
BD,?
△ABD是Rt△,
且AB是斜边,E是AB的中点,?
DE?
1AB?
BE.由题意可EB∥DF且EB?
DF,
?
四边形BFDE是平行四边形,?
四边形BFDE是菱形.
实战演练
1.一菱形周长是
20cm,两条对角线的比是4∶3
,则这菱形的面积是A.12cm2B.24cmC.48cm2D.96cm2
2.如图,已知长方形ABCD,AB=3cm,AD=4cm,过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF,分别交AD、BC于点E、F,则AE的长为_____7cm__________.
分析:
连EB,∵EF垂直平分BD,∴ED=EB,设AE=x,则DE=EB=,AE2+AB2=BE2,即:
x2+32=2,解得:
x=/8
3.如图,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,过点O作OH⊥AB,垂足为H,则点O到边AB的距离OH=
4.如图,菱形ABCD的连长是2㎝,E是AB中点,且DE⊥AB,则菱形ABCD的面积为___㎝2.
5.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,OE⊥AB,若∠ADC=130°,则∠AOE的大小为6.如图,已知四边形1+
第4题
7.在菱形ABCD中,已知AB=10,AC=16,那么菱形ABCD的面积为
8.菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°,则菱形较小的内角是.
9.已知菱形ABCD的两条对角线相交于点O,若AB=,∠BDC=0?
,则菱形的面积为
10.在四边形ABCD中,给出四个条件:
①AB=CD,②AD∥BC,③AC⊥BD,④AC平分∠BAD,由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形,你认为这三个条件是①③④或②③④.
11.如图,已知在□ABCD中,AD=2AB,E、F在直线AB上,CE与AD交与点M,DF与CB交与点N,且AE=AB=BF,求证:
CE⊥DF.
证明:
连接MN,∵□ABCD,?
AB=DC,又∵AB=AE,?
AE=DC?
?
AEM?
?
CDM,
?
M为AD的中点.又∵AD=2AB,?
CD=DM?
CDMN是棱形,所以CE⊥DF.
12.如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC的平分线BD?
交AC于点D,CH⊥AB于H,且交BD于点F,DE⊥AB于E,四边形CDEF是菱形吗?
请说明理由.
D
解:
解法一:
四边形CDEF是菱形.理由:
如图所示,BD平分∠ABC,?
CD=DE,
BHEA
因为∠1+∠4=90°,∠2+∠5=90°,∠1=∠2,∠3=∠5,?
?
∠3=∠4.?
CF=CD.
?
CF=DE.因为CF//DE.?
所以四边形CDEF是平行四边形.所以□CDEF是菱形.
13.如图所示,已知△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,过点D?
作DE⊥AB,DF⊥AC,
垂足分别为E,F,再过E,F作EG⊥AC,FH⊥AB,垂足分别为G,H,且EG,?
FH相交
于点K,试说明EF和DK之间的关系.A解:
EF与DK互相垂直平分.理由:
因为DE⊥AB,FH⊥AB,?
DE∥FH.?
∵DF⊥AC,EG⊥AC,所以DF∥EG.?
四边形DEKF是平行四边形.
∵AB=AC,?
∠B=∠C.又因为BD=CD,∠BED=∠CFD=90°,HG?
△BDE≌△CDF,?
DE=DF.?
DEKF是菱形,?
EF与DK互相垂直平分.
点拨:
要说明EF与DK互相垂直平分,只要说明四边形DEKF是菱形,?
要说明四边形DEKF是E菱形,可先说明四边形DEKF是平行四边形,再说明一组邻边相等即可.BDC
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