完整版勾股定理知识点总结经典例题.docx
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完整版勾股定理知识点总结经典例题
知识点及例题
知识点一:
勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为:
a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等
于斜边的平方.
c2=(a+b)2-2ab
要点诠释:
(1)勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
(2)勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角。
(3)理解勾股定理的一些变式:
c2=a2+b2,a2=c2-b2,b2=c2-a2,知识点二:
用面积证明勾股定理
方法一:
将四个全等的直角三角形拼成如图
(1)所示的正方形。
,所以。
图
(2)中,所以。
在(3)—1中,甲的面积=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积),在(3)—2中,乙和丙的面积和=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积)所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即:
.
方法四:
如图(4)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形。
,所以。
知识点三:
勾股定理的作用
1.已知直角三角形的两条边长求第三边;2.已知直角三角形的一条边,求另两边的关系;
3.用于证明平方关系的问题;4.利用勾股定理,作出长为的线段。
2.在理解的基础上熟悉下列勾股数
满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),显然,以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数,对解题是会有帮助的:
①3、4、5②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;⑤10、24、26;⑥9、40、41.
如果(a,b,c)是勾股数,当t>0时,以at,bt,ct为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形。
经典例题透析类型一:
勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中,∠C=90°
(1)已知a=6,c=10,求b,
(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a.思路点拨:
写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。
解析:
(1)在△ABC中,∠C=90
,a=6,c=10,b=
,a=40,b=9,c=
(2)在△ABC中,∠C=90
总结升华:
有一些题目的图形较复杂,但中心思想还是化为直角三角形来解决。
如:
不规则图形的面积,可转化
(3)在△ABC中,∠C=90
,c=25,b=15,a=
为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差或和。
举一反三
【变式】:
如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少【答案】∵∠ACD=90°
AD=13,CD=12∴AC2=AD2-CD2
=132-122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得
AB2=AC2-BC2
=52-32
=16
∴AB=4
∴AB的长是4.
类型二:
勾股定理的构造应用
2、如图,已知:
在中,
角的直角三角形,为此作于D,则有
思路点拨:
由条件,想到构造含
,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的
长.
解析:
作于D,则因,
∴(的两个锐角互余)
那么它所对的直角边等于斜边的一半)
根据勾股定理,在中,根据勾股定理,在中,
.∴.
当题目中没有垂直条件时,也经常作垂线构
总结升华:
利用勾股定理计算线段的长,是勾股定理的一个重要应用造直角三角形以便应用勾股定理.
举一反三【变式1】如图,已知:
,,于P.求证:
思路点拨:
图中已有两个直角三角形,但是还没有以BP为边的直角三角形.因此,我们考虑构造一个以BP为边的直角三角形.所以连结BM.这样,实际上就得到了4个直角三角形.那么根据勾股定理,可证明这几条线段的平方之间的关系.
解析:
连结BM,根据勾股定理,在中,
.
而在中,则根据勾股定理有
.
∴又∵(已知),∴.
在中,根据勾股定理有
,
∴.
根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析:
延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==。
∵DE2=CE2-CD2=42-22=12,∴DE==。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=
类型三:
勾股定理的实际应用
(一)用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了到达B点,然后再
沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
(1)求A、C两点之间的距离。
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°
∴∠CBA=90°
即△ABC为直角三角形
由已知可得:
BC=500m,AB=由勾股定理可得:
所以
(2)在Rt△ABC中,
∵BC=500m,AC=1000m
∴∠CAB=30°
∵∠DAB=60°
∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°的方向
总结升华:
本题是一道实际问题,从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的关键。
本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。
举一反三
【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示,点D
在离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB,与地面交于H.
解:
OC=1米(大门宽度一半),
OD=0.8米(卡车宽度一半)在Rt△OCD中,由勾股定理得:
CD===0.6米,
CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).
因此高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门.
(二)用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、
B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.
思路点拨:
解答本题的思路是:
最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论.
解析:
设正方形的边长为1,则图
(1)、图
(2)中的总线路长分别为
AB+BC+CD=3,AB+BC+CD=3
图(3)中,在Rt△ABC中
同理
∴图(3)中的路线长为
图(4)中,延长EF交BC于H,则FH⊥BC,BH=CH
由∠FBH=及勾股定理得:
EA=ED=FB=FC=
∴EF=1-2FH=1-
∴此图中总线路的长为4EA+EF=
3>2.828>2.732
∴图(4)的连接线路最短,即图(4)的架设方案最省电线.
总结升华:
在实际生产工作中,往往工程设计的方案比较多,需要运用所学的数学知识进行计算,比较从中选出最优设计.本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质.
举一反三
【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着
圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.
解:
∴AC===≈10.77(cm)(勾股定理)答:
最短路程约为10.77cm.
类型四:
利用勾股定理作长为的线段
5、作长为、、的线段。
思路点拨:
由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作。
作法:
如图所示
举一反三【变式】在数轴上表示的点。
解析:
可以把看作是直角三角形的斜边,,为了有利于画图让其他两边的长为整数,
而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。
作法:
如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为。
类型五:
逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1.原命题:
猫有四只脚.(正确)2.原命题:
对顶角相等(正确)3.原命题:
线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等.(正确)
4.原命题:
角平分线上的点,到这个角的两边距离相等.(正确)
思路点拨:
掌握原命题与逆命题的关系。
解析:
1.逆命题:
有四只脚的是猫(不正确)
2.逆命题:
相等的角是对顶角(不正确)
3.逆命题:
到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.?
(正确)
4.逆命题:
到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上.(正确)总结升华:
本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。
7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC的形状。
思路点拨:
要判断ΔABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手,解决问题。
解析:
由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得:
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
∵(a-3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0。
∴a=3,b=4,c=5。
∵32+42=52,∴a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形。
总结升华:
勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。
【变式2】已知:
△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断△ABC是否为直角三角形分析:
本题是利用勾股定理的的逆定理,只要证明:
a2+b2=c2即可
【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB。
请问FE与DE是否垂直?
请说明。
【答案】答:
DE⊥EF。
证明:
设BF=a,则BE=EC=2a,AF=3a,AB=4a,
∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。
连接DF(如图)
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。
∴DF2=EF2+DE2,
∴FE⊥DE。
经典例题精析
类型一:
勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是3:
4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。
思路点拨:
在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积。
解析:
设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,根据题意得:
(3x)2+(4x)2=202
化简得x2=16;
∴直角三角形的面积=×3x×4x=6x2=96
总结升华:
直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程(组)求解。
举一反三【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。
【答案】如图,等边△ABC,作AD⊥BC于D
则:
BD=BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)
∵AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等)
∴BD=1
在直角三角形ABD中,AB2=AD2+BD2,即:
AD2=AB2-BD2=4-1=3∴AD=
S△ABC=BC·AD=
注:
等边三角形面积公式:
若等边三角形边长为a,则其面积为a。
变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。
答案】设此直角三角形两直角边长分别是x,y,根据题意得:
由
(1)得:
x+y=7,(x+y)2=49,x2+2xy+y2=49(3)
(3)-
(2),得:
xy=12
∴直角三角形的面积是xy=×12=6(cm2)
【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n。
思路点拨:
首先要确定斜边(最长的边)长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。
解:
此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得:
(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2
化简得:
n2=4
∴n=±2,但当n=-2时,n+1=-1<0,∴n=2
总结升华:
注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下,首先要先确定斜边,直角边。
【变式4】以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是()A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10D、8,39,40
解析:
此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断,
对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形:
b2=c2-a2=(c-a)(c+a)来判断。
例如:
对于选择D,∵82≠(40+39)×(40-39),
∴以8,39,40为边长不能组成直角三角形。
BC+AC·CD=36
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB
类型二:
勾股定理的应用
2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160m。
假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?
请
说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒?
思路点拨:
(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则
受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度。
(2)要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。
因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校。
解析:
作AB⊥MN,垂足为B。
在RtΔABP中,∵∠ABP=90°,∠APB=30°,AP=160,
∴AB=AP=80。
(在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半)
∵点A到直线MN的距离小于100m,
∴这所中学会受到噪声的影响。
如图,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC=100(m),由勾股定理得:
BC2=1002-802=3600,∴BC=60。
同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD=100(m),BD=60(m),∴CD=120(m)。
拖拉机行驶的速度为:
18km/h=5m/st=120m÷5m/s=24s。
答:
拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24秒。
总结升华:
勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角
三角形以便利用勾股定理。
举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条
“路”。
他们仅仅少走了步路(假设2步为1m),却踩伤了花草。
解析:
他们原来走的路为3+4=7(m)
设走“捷径”的路长为xm,则故少走的路长为7-5=2(m)
又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了4步路。
【答案】4
1的正三角形,这样的三
变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1
角形称为单位正三角形。
1)直接写出单位正三角形的高与面积。
2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?
平行四边形ABCD的面积是多少?
3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)。
答案】
(1)单位正三角形的高为,面积是
2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形,因此其面积。
3)过A作AK⊥BC于点K(如图所示),则在Rt△ACK中,
,故
类型三:
数学思想方法
(一)转化的思想方法我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决.
E、F分别是AB、AC边上的点,且
形的中线有特殊的性质,不妨先连接AD.
的值。
解:
连接AD.
因为∠BAC=90°,AB=AC.又因为AD为△ABC的中线,所以AD=DC=DB.AD⊥BC.
且∠BAD=∠C=45°.
因为∠EDA+∠ADF=90°.又因为∠CDF+∠ADF=90°.所以∠EDA=∠CDF.所以△AED≌△CFD(ASA).所以AE=FC=5.
同理:
AF=BE=12.
在Rt△AEF中,根据勾股定理得:
,所以EF=13。
升华:
此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。
通过此题,我们可以知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直中求解。
方程的思想方法
图所示,已知△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,,求、
思路点拨:
由,再找出、的关系即可求出和的值。
解:
在Rt△ABC中,∠A=60°,∠B=90°-∠A=30
则,由勾股定理,得。
因为,所以,
,,。
总结升华:
举一反三:
EF的长。
,,。
在直角三角形中,30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。
变式】如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求
解:
因为△ADE与△AFE关于AE对称,所以AD=AF,DE=EF。
因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=∠C=90°,在Rt△ABF中,AF=AD=BC=10cm,AB=8cm,
所以。
所以
设,则。
在Rt△ECF中,,即,解得。
即EF的长为5cm。
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