太原理工大学数值计算方法题库讲解.docx
- 文档编号:2401673
- 上传时间:2023-05-03
- 格式:DOCX
- 页数:27
- 大小:342.93KB
太原理工大学数值计算方法题库讲解.docx
《太原理工大学数值计算方法题库讲解.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《太原理工大学数值计算方法题库讲解.docx(27页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
太原理工大学数值计算方法题库讲解
太原理工大学数值计算方法题库
数值计算方法试题
一、填空题
1、如果用二分法求方程x3x40在区间[1,2]内的根精确到三位小数,
2、
需对分(10)次。
2
迭代格式xk1xk(xk22)局部收敛的充分条件是取值在22
2,0)(0,2)
22)。
3
x13(x1)3a(x1)
2
0x1
b(x1)c1x3是三次样条函数,
S(x)1
3、已知
则a=(3),b=(3),c=
(1)。
4、l0(x),l1(x),,ln(x)是以整数点n
lk(x)
函数,则k0k
(1),
n
(xkxk3)lk(x)42k0kkk(x4x23)
5、设f(x)6x72x43x21和节点xkk/2,k0,1,2,,则7!
6945
6和7f072!
769454236.25。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为9,积公式最高代数精度为9。
k(x)k0是区间[0,1]上权函数(x)x的最高项系数为
1
式族,其中0(x)1,则0x4(x)dx0。
x1ax2b1
8、给定方程组ax1x2b2,a为实数,当a满足
SOR迭代法收敛。
7、
9、
x0,x1,,xn为节点的Lagrange插值基n
xklj(xk)
k0(
f[x0,x1,,xn]
5个节点的求
1的正交多项
a1,且02时,
yf(x,y)
解初值问题y(x0)y0的改进欧拉法
y[n0]1ynhf(xn,yn)
h
2
10
01
aa
yn1ynh[f(xn,yn)f(xn1,y[n0]1)]
a
a
1
A
10、设中L为下三角阵,这种分解是唯一的
是2阶方法。
22
,当a(2,2)时,必有分解式ALLT,其
当其对角线元素lii(i1,2,3)满足(lii0)条件时,
太原理工大学数值计算方法题库
、选择题1、解方程组Axb的简单迭代格式x(k1)Bx(k)g收敛的充要条件是
2)。
1)(A)1,
(2)(B)1,(3)(A)1,(4)(B)1
是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当
(1)时的
牛顿-柯特斯求积公式不使用
(1)n8,
(2)n7,(3)n10,(4)n6,
3、有下列数表
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
f(x)
-2
-1.75
-1
0.25
2
4.25
所确定的插值多项式的次数是
(1)。
(1)二次;
(2)三次;(3)四次;(4)五次
y2y,y(0)1,试问为保证该公式绝对稳定,步长h的取值范围为
3)
(1)0h2,
(2)0h2,(3)0h2,(4)0h22
三、1、用最小二乘法求形如yabx2的经验公式拟合以下数据:
xi
19
25
30
38
yi
19.0
32.3
49.0
73.3
2
解:
span{1,x2}
T1111
A192252312382yT19.032.349.073.3
解方程组ATACATy
ATA43391ATy173.6
其中33913529603179980.7
0.9255577
C
解得:
0.0501025所以a0.9255577,b0.0501025
1x
2、用n8的复化梯形公式(或复化Simpson公式)计算0edx时,
(1)试用余项估计其误差。
(2)用n8的复化梯形公式(或复化Simpson公式)计算出该积分的近似值。
太原理工大学数值计算方法题库
解:
RT[f]h7
T(8)h[f(a)2f(xk)f(b)]
2k1
1
[12(0.88249690.77880080.6065306616
0.53526140.472366550.41686207)0.36787947]
0.6329434
四、1、方程x3x10在x1.5附近有根,把方程写成三种不同的等价形式
(1)x3x1对应迭代格式xn13xn1;
(2)x1x对应迭
xn1113
代格式n1xn;(3)xx31对应迭代格式xn1xn31。
判断迭
代格式在x01.5的收敛性,选一种收敛格式计算x1.5附近的根,精确到小数点后第三位。
选一种迭代格式建立Steffensen迭代法,并进行计算与前一种结果比较,说明是否有加速效果。
123
解:
(1)(x)3(x1),(1.5)0.181,故收敛;
(x)1
(2)2x211x,(1.5)0.171,故收敛;
(3)(x)3x2,(1.5)31.521,故发散。
选择
(1):
x01.5,x11.3572,x21.3309,x31.3259,x41.3249,x51.32476,x61.32472
xx((xk)xk)2xk1xk
Steffensen迭代:
((xk))2(xk)xk
(3xk1xk)2xk
33xk1123xk11计算结果:
x01.5,x11.324899,x21.324718有加速效果。
2、已知方程组AXf,其中
4
3
24
A
3
4
1
f
30
1
4
,
24
(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式
(2)求出Jacobi迭代矩阵的谱半径,写出SOR迭代法。
太原理工大学数值计算方法题库
x1(k1)1(243x2(k))
142
x2(k1)14(303x1(k1)x3(k))
x3(k1)1(24x2(k1))
0340
BJD1(LU)34034
0340
(k1)(k)x1(k1)
(1)x1(k)
4Gauss-Seidel迭代法:
k0,1,2,3,
(BJ)58(或410)0.790569
(243x2(k))
42
x2(k1)
(1)x2(k)(303x1(k1)x3(k))
4
x3(k1)
(1)x3(k)(24x2(k1))
4
SOR迭代法:
k0,1,2,3,
y(0.1)的值;用经典的四阶龙格—库塔法求y(0.1)的值
解:
改进的欧拉法:
yn(0)1ynhf(xn,yn)0.9yn0.1
yn1ynh[f(xn,yn)f(xn1,yn(0)1)]0.905yn0.0952
所以y(0.1)y11;
经典的四阶龙格—库塔法:
hyn1yn6[k12k22k3k4]
k1f(xn,yn)
hh
k2f(xn,ynk1)
22
hh
k3f(xn2,yn2k2)
k4f(xnh,ynhk3)k1k2k3k40,所以y(0.1)y11
2、求一次数不高于4次的多项式p(x)使它满足
p(x0)f(x0),p(x1)f(x1),p(x0)f(x0),p(x1)f(x1),p(x2)f(x2)
H3(xi)f(xi)
解:
设H3(x)为满足条件H3(xi)f(xi)i0,1的Hermite插值多项式,
22
则p(x)H3(x)k(xx0)(xx1)代入条件p(x2)f(x2)得:
太原理工大学数值计算方法题库
f(x2)H3(x2)
k2
(x2x0)2(x2
x1)2
六、(下列2题任选一题,4分)
1
数值积分公式形如0xf(x)dxS(x)Af(0)Bf
(1)Cf(0)Df
(1)1,
4
试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽量高;2,设f(x)C4[0,1],
1
推导余项公式R(x)0xf(x)dxS(x),
1、
23
解:
将f(x)1,x,x2,x3分布代入公式得:
并估计误差。
A3,B7,B
2020
1,D1
3020
构造Hermite插值多项式H3(x)满足
x00,x11
则有:
1
xH3(x)dxS(x),
1f(4)()
R(x)0x[f(x)S(x)]dx0f(4)()
4!
2、
H3(xi)f(xi)
H3(xi)f(xi)i
f(x)H3(x)f()
32
x(x1)dx4!
f(4)()f(4)()
4!
601440
0,1其中
x2(x1)2
4!
132x3(x1)2dx
用二步法
yn10yn1yn1h[f(xn,yn)
(1)f(xn1,yn1)]
yf(x,y)y(x0)y0时,如何选择参数0,1,使方
求解常微分方程的初值问题法阶数尽可能高,并求局部截断误差主项,此时该方法是几阶的。
解:
h2h3
Rn,hy(xn1)yn1y(xn)hy(xn)h2!
y(xn)h3!
y(xn)2!
3!
h2h3
0y(xn)1(y(xn)hy(xn)2!
y(xn)3!
y(xn))
h2h3
hy(xn)hy(4)(xn)]2!
n3!
n
h[y(xn)
(1)(y(xn)hy(xn)
(101)y(xn)h(111)y(xn)
2131
h2(111)y(xn)h3(11
22n662
101010
1110所以22
53
hy(xn)
主项:
12n
1)y(xn)O(h4)
1
0
3
2
该方法是二阶的。
太原理工大学数值计算方法题库
数值计算方法试题二
一、判断题:
1、若A是nn阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵L和上三角阵U,使ALU唯一成立。
(Ⅹ)
2、当n8时,Newton-cotes型求积公式会产生数值不稳定性。
(∨)
代数精确度的次数为2n1。
(Ⅹ)
210
A111
4、矩阵
01
2
的2-范数A2=9。
(∨)
2a
a0
A
0
a0
5、设
0
0a
,则对任意实数a0,方程组Axb都是病态的
(用)(Ⅹ)
6、设ARnn,QRnn,且有QTQI(单位阵),则有A2QA2(∨)
Ⅹ)
8、对矩阵A作如下的Doolittle
223
10022
A
477
210
0b
245
1a1
00
、填空题:
842
1、设f(x)9x83x421x210
7、区间a,b上关于权函数W(x)的直交多项式是存在的,且唯一。
分解:
3
1
6,a,b的值分别为a2,b2。
(Ⅹ)
则均差
f[20,21,,28]98!
,f[30,31,,39]0。
2、设函数f(x)于区间a,b上有足够阶连续导数,pa,b为f(x)的
f(xk)xk1xkm'k一个m重零点,Newton迭代公式f'(xk)的收敛阶至少
是二阶。
3、区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在a,b上具有直到二阶的
2
1,则
连续导数。
TA
4、向量X(1,2),矩阵AX116,cond(A)90。
太原理工大学数值计算方法题库
1
1f(x)dxf(x0)f(x1)具有最高的代
nn,ATA,则(A)(谱半径)=A2等于)
1
2、使用高斯消去法解线性代数方程组,一般为什么要用选主元的技术?
答:
Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素(k)
ak(kk)全不为0,如果在消元过程中发现某个主元素为0,即使
det(A)0,则消元过程将无法进行;其次,即使主元素不为0,
(k)
a(kkk)
但若主元素ak(kk)的绝对值很小,用它作除数,将使该步消元的乘数绝对值很大,势必造成舍入误差的严重扩散,以致于方程组解的精确程度受到严重影响,采用选主元的技术,可避免主元素
很小的情况发生,从而不会使计算中断或因误差扩
(k)
akk=0或
大太大而使计算不稳定。
f(x)1cosx
3、
设x0.001,试选择较好的算法计算函数值f(x)x2。
242n
cosx1xx
(1)nx解:
2!
4!
(2n!
)
242n
1cosxxx
(1)n1x
2!
4!
(2n!
)
1x2x2n2
f(x)1x
(1)n1x2!
4!
(2n!
)
四、已知数值积分公式为:
hh2''
0f(x)dx[f(0)f(h)]h2[f'(0)f'(h)]
02,试确定积分公式中的参数,使其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数。
解:
f(x)1显然精确成立;
太原理工大学数值计算方法题库
hh2h2
xdx[0h]h2[11]
022;
h31
2h
212;
f(x)x时,
h2h3h22
x2dx[0h2]h2[02h]
32
4
h3hh3122
3x3dx[0h3]h2[03h2]
f(x)x2时,
f(x)x3时,04212;
4x4dxhh[0h4]1h2[04h3]h
f(x)x4时,052126;所以,其代数精确度为3。
五、已知求a(a0)的迭代公式为:
1a
xk1(xk)x00k0,1,2
k12k0
证明:
对一切k1,2,,xka,且序列xk是单调递减的,
从而迭代过程收敛。
1a1
xk1(xk)2
k12kxk2
xk
证明:
aak0,1,2xk
故对一切k1,2,,xka。
1a1
(1)(11)1
2xk22所以xk1xk,即序列xk是单调递减有
xk
xk1又xk下界,从而迭代过程收敛。
33
0f(x)dx[f
(1)f
(2)]
02是否为插值型求积公
六、(9分)数值求积公式式?
为什么?
其代数精度是多少?
解:
是。
因为f(x)在基点1、2处的插值多项式为
x2x1
p(x)x2f
(1)x1f
(2)
1221
33p(x)dx[f
(1)f
(2)]
02。
其代数精度为1。
七、设线性代数方程组AXb中系数矩阵A非奇异,X为精确解,
b0,若向量X是AXb的一个近似解,残向量rbAX,证明
XX
估计式:
X容)。
cond(A)
cond(A)b(假定所用矩阵范数与向量范数相
证明:
由题意知:
AXb,AXbr
A(XX)
rXXA1r
太原理工大学数值计算方法题库
太原理工大学数值计算方法题库
bn1b2
lk(x)lj(x)w(x)dx0(kj)alk(x)w(x)dxaw(x)dxa(3)k1
证明:
形如式具有最高代数精度2n+1次,它对f(x)取所有次数不超过2n+1次的多项式均精确成立
n1b
Aik(xi)j(xi)ak(x)j(x)w(x)dx0
1)i1a
、填空题
数值计算方法试题三
(1)改变函数f(x)x1x(x1)的形式,使计算结果较精
太原理工大学数值计算方法题库
fx
(2)
若用二分法求方程fx0在区间[1,2]内的根,要求精确到第
3位小数,则需要对分10次。
a=3,b=-3,c=1。
1x
0edx,要求误差不超过106,利用余
项公式估计,至少用477个求积节点。
x11.6x21
(6)写出求解方程组0.4x1x22的Gauss-Seidel迭代公式
x1k111.6x2k
01.6
x2k120.4x1k1,k0,1,
,迭代矩阵为
00.64
此迭代法是否收敛收敛
54
(7)设A43,则A9,CondA91。
(8)若用Euler法求解初值问题y'10y,y01,为保证算法的绝对稳定,则步长h的取值范围为h<0.2
二.1.写出求方程4xcosx1在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式,并证明其收敛性。
xn1xn41cosxn,n=0,1,2,
11
'x4sinx41∴对任意的初值x0[0,1],迭代公式都收敛。
太原理工大学数值计算方法题库
2.以100,121,144为插值节点,用插值法计算115的近似值,并利用余项估计误差。
用Newton插值方法:
差分表:
100
121
144
10
11
12
0.0476190
0.0434783
-0.0000941136
11510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)
=10.7227555
f'''x83x
f'''
R1151001151211151443!
5
132
1002156290.00163
68
3.
求fxex在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。
设xc11xc22xc1c2x
12111
112c1e1
1213c21
2,20xdx3,f,1exp(x)dxe1,f,2xexp(x)dx1
c10.8731
c21.690,x0.87311.690x
x4e10186ex=0.873127+1.69031x
I1sinxdx
4.用复化Simpson公式计算积分I0xdx的近似值,要求误差限为0.5105。
太原理工大学数值计算方法题库
5.用Gauss列主元消去法解方程组:
x14x22x324
3x1x25x334
2x16x2x327
3.00001.00005.000034.0000
0.00003.66670.333312.6667
0.00005.3333-2.33334.3333
3.00001.00005.000034.0000
0.00005.3333-2.33334.3333
0.00000.00001.93759.6875
x2.0000,3.0000,5.0000T
1.3333
2.0000
36x18
ATAxATb,614x220
若用Householder变换,则:
太原理工大学数值计算方法题库
1.73205
A,b
3.464104.61880
0.366031.52073
1.366032.52073
1.73205
0
0
3.464104.61880
1.414212.82843
00.81650
最小二乘解:
(-1.33333,2.00000)T.
7.已知常微分方程的初值问题:
dydxxy,1x1.2
y
(1)2
用改进的Euler方法计算y(1.2)的近似值,取步长h0.2。
k1fx0,y00.5,k2fx1,y0hk11.120.20.50.5238095
y1y0hk1k220.10.50.52380952.1071429
2
三.在下列5个题中至多选做3个题)
(1)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足:
p115,p'120,p''130,p257,p'272
差分表:
1
15
20
1
15
15
20
7
1
15
22
1
42
8
2
57
30
72
2
57
px1520x115x127x13x13x2
54x3x22x3x4
其他方法:
设px1520x115x12x13axb
太原理工大学数值计算方法题库
令p257,p'272,求出a和b
(2)构造代数精度最高的如下形式的求积公式,并求出其代数精度:
取f(x)=1,x,令公式准确成立,得:
A01A11
03,16
A0A111A0A11
012,2013
f(x)=x2时,公式左右=1/4;f(x)=x3时,公式左=1/5,公式右=5/24
公式的代数精度=2
101
11的模最大的特征值及其相应的单位特征
向量,迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 太原 理工大学 数值 计算方法 题库 讲解