中考数学易错题专题复习反比例函数练习题含答案docWord文档下载推荐.docx
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,得:
m=4,即点A(4,4),
将点A(4,4)、B(﹣8,﹣2)代入y1=k1x+b,
得:
解得:
,
∴一次函数解析式为y1=x+2,
故答案为:
4,;
(2)∵一次函数y1=k1x+2
与反比例函数
y2=的图象交于点
A(4,
4)和B(﹣8,﹣2),
∴当y>y
时,x的取值范围是﹣8<x<0或x>4,
1
2
﹣8<x<0或x>4;
【分析】
(1)由A与B为一次函数与反比例函数的交点,将
B坐标代入反比例函数解析
式中,求出
k2的值,确定出反比例解析式,再将
A的坐标代入反比例解析式中求出
m的
值,确定出
A的坐标,将B坐标代入一次函数解析式中即可求出
k1的值;
(2)由A与B
横坐标分别为4、﹣8,加上0,将x轴分为四个范围,由图象找出一次函数图象在反比例
函数图象上方时x的范围即可;
(3)先求出四边形ODAC的面积,由S四边形ODAC:
S△ODE=3:
1得到△ODE的面积,继而求得点E的坐标,从而得出直线OP的解析式,结合反比例函数解析式即可得.
2.一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象相交于A,B两点,与
y轴交于点C,与x轴交于点D,点D的坐标为(﹣1,0),点A的横坐标是1,tan∠CDO=2.过点B作BH⊥y轴交y轴于H,连接AH.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△ABH面积.
【答案】
(1)解:
∵点D的坐标为(﹣1,0),tan∠CDO=2,
∴CO=2,即C(0,2),
把C(0,2),D(﹣1,0)代入y=ax+b可得,
,解得,
∴一次函数解析式为y=2x+2,
∵点A的横坐标是1,
∴当x=1时,y=4,即A(1,4),
把A(1,4)代入反比例函数y=,可得k=4,
∴反比例函数解析式为y=
(2)解:
解方程组,可得或,
∴B(﹣2,﹣2),
又∵A(1,4),BH⊥y轴,
∴△ABH面积=×
(2×
4+2)=6.
【解析】【分析】
(1)先由tan∠CDO=2可求出C坐标,再把D点坐标代入直线解析式,
可求出一次函数解析式,再由直线解析式求出A坐标,代入双曲线解析式,可求出双曲线
解析式;
(2)△ABH面积可以BH为底,高=yA-yB=4-(-2)=6.
3.如图,直线y=mx+n与双曲线y=相交于A(﹣1,2)、B(2,b)两点,与y轴相交于点C.
(1)求m,n的值;
(2)若点D与点C关于x轴对称,求△ABD的面积;
(3)在坐标轴上是否存在异于
D点的点P,使得S△PAB△DAB
P点坐
=S
?
若存在,直接写出
标;
若不存在,说明理由.
∵点A(﹣1,2)在双曲线y=上,
∴2=,
解得,k=﹣2,
∴反比例函数解析式为:
y=﹣,
∴b=
则点
=﹣1,B的坐标为(
2,﹣1),
∴,
解得,m=﹣1,n=1
对于y=﹣x+1,当x=0时,y=1,
∴点C的坐标为(0,1),
∵点D与点C关于x轴对称,
∴点D的坐标为(0,﹣1),
∴△ABD的面积=×
2×
3=3
对于y=﹣x+1,当y=0时,x=1,
∴直线y=﹣x+1与x轴的交点坐标为(0,1),
当点P在x轴上时,设点P的坐标为(a,0),
S△PAB=×
|1﹣a|×
2+×
1=3,
解得,a=﹣1或3,
当点P在y轴上时,设点P的坐标为(0,b),
S△PAB=
|1﹣b|
2+
解得,b=﹣1或3,
∴P点坐标为(﹣1,0)或(3,0)或(0,﹣1)或(0,3)
(1)由点A(﹣1,2)在双曲线上,得到k=﹣2,得到反比例函数解析
式为,从而求出b的值和点B的坐标,把A、B坐标代入直线y=mx+n,求出m、n的值;
(2)由一次函数的解析式求出点C的坐标,由点D与点C关于x轴对称,得到点D的坐
标,从而求出△ABD的面积;
(3)由一次函数的解析式得到直线y=﹣x+1与x轴的交点坐
标为(0,1),当点P在x
轴上时,设点P的坐标为(a,0),求出S△PAB=3,求出a的
值,当点P在y轴上时,设点
P的坐标为(0,b),求出S△PAB=3,求出b的值,从而得到
P点坐标.
4.如图①所示,双曲线
y=
(k
≠与0)抛物线
y=ax2+bx(a
≠交0)于
A、B、C三点,已知
B(4,2),C(-
2,-4),直线
CO交双曲线于另一点
D,抛物线与
x轴交于另一点
E.
(1)求双曲线和抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在点P,使得∠POE+∠BCD=90°
若存在,请求出满足条件的点
标;
若不存在,请说明理由;
P的坐
(3)如图②所示,过点B作直线L⊥OB,过点D作DF⊥L于F,BD与OF交于点P,求的值.
把B(4,2)代人y=(k≠0)得2=元,解得k=8z,
∴双曲线的解析式为y=,
把B(4,2),C(-2,-4)代入y=ax2+bx得,
∴抛物线的解析式为y=
连接DB,
∵C(-2,-4),
∴直线OC的解析式为y=2x且与y=的另一个交点D(2,4),
∴由两点间距离公式得BC=,DB=,CD=,
∴BC2+DB2=CD2,
∴∠CBD=90,°
∴tan∠BDC=.
∵∠POE+∠BCD=90,°
∠BCD+∠BDC=90,°
∴∠POE=∠BDC.即tan∠POE=3.
∴P在直线y=3x或y=-3x上,故有两种情况:
解得(0,0)(舍)或(-6,-18)(舍);
解得(0,0)(舍)或(18,-54),
故可得出满足条件的P点有一个(18,-54);
由B(4,2)可得直线OB解析式y=,
由OB⊥l可得l的解析式为y=-2x+b1,把(4,2)代入求出b1=10,
∴l的解析式为y=-2x+10,
由DF⊥l,OB⊥l可得DF∥OB,
∴可设DF解析式y=x+b2,把D(2,4)代入得b2=3.
∴DF的解析式为y=x+3,
把DF的解析式与l的解析式联立可得:
∴DF=,OB=
.∵DF∥OB,
∴
【解析】【分析】
(1)因为双曲线与抛物线交于点A、B、C,且B(4,2),C(-2,-4),
所以用待定系数法即可求得两个函数的解析式;
(2)连接DB,因为直线CO与双曲线交于点D,所以C、D两点关于原点成中心对称,所以点D(2,4),则可将BC、CD、BD放在直角三角形中,用勾股定理求得这三边的长,然
后计算可得,由勾股定理的逆定理可得∠CBD=90°
,则∠BDC的正切值可
求出来,由已知条件∠POE+∠BCD=90°
可得∠BDC=∠POE,则tan∠BDC=tan∠POE,点P所
在的直线解析式可得,将点P所在的直线解析式与抛物线的解析式联立解方程组,即可求
得点P的坐标;
(3)由题意直线L⊥OB,根据互相垂直的两条直线的k值互为负倒数易求得直线l的解析
式,因为DF⊥L于F,所以同理可求得直线DF的解析式,把DF的解析式与l的解析式联立
可得点F的坐标,则DF和OB的长可用勾股定理求得,因为DF∥OB,所以由平行线分线
段成比例定理可得比例式;
将DF和OB的值代入即可求解。
5.如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线在x轴下方的部分
沿x轴翻折,得到一个新函数的图象(图中的“V形折现”)
(1)类比研究函数图象的方法,请列举新函数的两条性质,并求新函数的解析式;
(2)如图2,双曲线y=与新函数的图象交于点C(1,a),点D是线段AC上一动点
括端点),过点D作x轴的平行线,与新函数图象交于另一点E,与双曲线交于点P.
(不包
①试求△PAD的面积的最大值;
②探索:
在点D运动的过程中,四边形PAEC能否为平行四边形?
若能,求出此时点D的坐标;
若不能,请说明理由.
如图1,新函数的性质:
1.函数的最小值为0;
2.函数图象的对称轴为直
线x=3.
由题意得,点A的坐标为(-3,0),分两种情况:
①当x
②当x<
-3
-3时,y=x+3;
时,设函数解析式为y=kx+b,
在直线y=x+3中,当x=-4时,y=-1,
则点(-4,-1)关于x轴的对称点为(-4,1),
把点(-4,1),(-3,0),代入y=kx+b中,
∴y=-x-3.
综上,新函数的解析式为
.
如图2,
①∵点C(1,a)在直线
y=x+3上,
∴a=4,
∵点C(1,4)在反比例函数y=上,
∴k=4,
∴反比例函数的解析式为y=.
∵点D是线段AC上一动点,
∴设点D的坐标为(m,m+3),且-3<
m<
1,
∵DP∥x轴,且点P在双曲线上,
∴点P的坐标为(
,m+3),
∴PD=-m,
∴S=(
-m)
+
(m+3)=m-m+2=
(m+)
△PAD
∵a=<
0,
∴当m=时,S有最大值,最大值为,
又∵-3<
<
∴△PAD的面积的最大值为.
②在点D的运动的过程中,四边形PAEC不能为平行四边形,理由如下:
当点D为AC的中点时,其坐标为(-1,2),此时点P的坐标为(2,2),点E的坐标为
(-5,2),
∵DP=3,DE=4,
∴EP与AC不能互相平分,
∴四边形PAEC不能为平行四边形.
(1)根据一次函数的性质,结合函数图象写出新函数的两条性质;
利用
待定系数法求新函数解析式,注意分两种情况讨论;
(2)①先求出点C的坐标,再利用
待定系数法求出反比例函数解析式,设出点D的坐标,进而得到点P的坐标,再根据三角
形的面积公式得出函数解析式,利用二次函数的性质求解即可;
②先求出A的中点D的坐
标,再计算DP、DE的长度,如果对角线互相平分,则能成为平行四边形,如若对角线不互相平分,则不能成为平行四边形.
6.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y=(m≠0)交于点A
(2,﹣3)和点B(n,2).
(1)求直线与双曲线的表达式;
(2)对于横、纵坐标都是整数的点给出名称叫整点.动点P是双曲线y=(m≠0)上的整
点,过点P作垂直于x轴的直线,交直线AB于点Q,当点P位于点Q下方时,请直接写出整点P的坐标.
∵双曲线y=(m≠0)经过点A(2,﹣3),∴m=﹣6.
∴双曲线的表达式为y=﹣.
∵点B(n,2)在双曲线y=﹣上,
∴点B的坐标为(﹣3,2).
∵直线y=kx+b经过点A(2,﹣3)和点B(﹣3,2),
解得,
∴直线的表达式为y=﹣x﹣1
(2)解:
符合条件的点P的坐标是(1,﹣6)或(6,﹣
1).
(1)把A的坐标代入可求出m,即可求出反比例函数解析式,把B的坐标代入反比例函数解析式,即可求出n,把A,B的坐标代入一次函数解析式即可求出
点
一次函数解析式;
(2)根据图象和函数解析式得出即可.
7.如图,已知直线l:
y=kx+b(k<0,b>0,且k、b为常数)与y轴、x轴分别交于A
点、B点,双曲线C:
y=(x>0).
(1)当k=﹣1,b=2时,求直线l与双曲线C公共点的坐标;
(2)当b=2公共点(设为
时,求证:
不论k为任何小于零的实数,直线P),并求公共点P的坐标(用k的式子表示).
l与双曲线
C只有一个
(3)①在
(2)的条件下,试猜想线段PA、PB是否相等.若相等,请加以证明;
若不相等,请说明理由;
②若直线l与双曲线C相交于两点P1、P2,猜想并证明P1A与P2B之间的数量关系.
联立l与C得,
①﹣②,得﹣
化简,得x2﹣2
解得x1=x2=
直线l与双曲线
x+2﹣=0
x+3=0
,y1=y2=,
C公共点的坐标为(
,)
证明:
联立l与C得,
①﹣②,得
kx+2﹣=0,
化简,得
kx2+2x﹣3=0,
a=k,b=2
,c=﹣3,
△=b2﹣4ac=(2
)2﹣4k×
(﹣3)=12k﹣12k=0,
∴kx2+2
x﹣3=0
只有相等两实根,即不论
k为任何小于零的实数,直线
C只有一个公共点;
x=﹣,y=,
即P(﹣,)
①PA=PB,理由如下:
y=kx+b当x=0时,y=b,即A(0,b);
当y=0时,x=﹣,即B(﹣,0),
P(﹣,),
PA=,
PB=,
∴PA=PB.
②P1A=P2B,理由如下:
kx+b﹣=0,
kx2+bx﹣3=0,
解得P1(,
)
P1A2=()2+(
(
)2,
∴P1A2=P2B2,
)P2(,
)2,P2B2=()2+
∴P1A=P2B
(1)根据联立函数解析式,可得方程组,根据代入消元法,可得方程组
的解,可得交点的坐标;
(2)根据联立函数解析式,可得方程组,根据代入消元法,可的
一元二次方程,根据判别式,可得答案;
(3)①根据函数与自变量的关系,可得A、B点
坐标,根据两点间距离公式,可得答案;
②根据函数与自变量的关系,可得A、B点坐
标,根据联立函数解析式,可得方程组,根据代入消元法,可得方程组的解,可得交点的
坐标,根据两点间距离公式,可得答案.
8.如图,抛物线
与轴交于
、两点,与
轴交于
点,且
.
(1)求抛物线的解析式和顶点的坐标;
(2)判断的形状,证明你的结论;
(3)点是轴上的一个动点,当
的周长最小时,求
的值.
【答案】
(1)解:
∵点在抛物线上,
∴,解得,
∴抛物线解析式为,
∵,
∴点坐标为;
为直角三角形,证明如下:
在
∴为
,且
中,令
为
可得
,解得
或
由勾股定理可求得
又,
∴为直角三角形;
∵
∴点关于
如图,连接
轴的对称点为,交轴于点
,则
即为满足条件的点,
设直线解析式为,
把、坐标代入可得,解得,
∴直线解析式为,令,可得,
∴.
(1)把A点坐标代入可求得b的值,可求得抛物线的解析式,再求D
点坐标即可;
(2)由解析式可求得A、B、C的坐标,可求得AB、BC、AC的长,由勾股定
理的逆定理可判定△ABC为直角三角形;
(3)先求得C点关于x轴的对称点E,连接DE,
与轴交于点M,则M即为所求,可求得DE的解析式,令其y=0,可求得M点的坐标,
可求得m.
9.如图,抛物线y=x+bx-2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(一1,
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;
(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当
CM+DM
的值最小时,求
m的值.
∵点A(-1,0)在抛物线y=x2+bx-2上
∴×
(-12)+b×
(-1)–2=0
解得b=
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2.
y=x2-x-2=(x2-3x-4)=(x-)2-,
∴顶点D的坐标为(,-).
当x=0时y=-2,
∴C(0,-2),OC=2。
当y=0时,x2-x-2=0,∴x1=-1,x2=4
∴B(4,0)
∴OA=1,OB=4,AB=5.
∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,
∴AC2+BC2=AB2.
∴△ABC是直角三角形.
作出点C关于x轴的对称点C′,则C′(0,2),OC′=2,连接C′D交x轴于点
M,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC+MD的值最小。
解法一:
设抛物线的对称轴交x轴于点E.
∵ED∥y轴,∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM.
解法二:
设直线
,∴m=.
C′D的解析式为
y=kx+n,
则,解得n=2,.
∴.
∴当y=0时,,
(1)把点A坐标代入抛物线即可得解析式,从而求得顶点坐标;
(2)
分别计算出三条边的长度,符合勾股定理可知其是直角三角形;
(3)作出点C关于x轴的
对称点C′
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