1、四川中考数学八大题型集训专题复习6求最短路径问题专题复习(六)求最短路径问题最短路径问题在四川省的中考中出现的频率很高，这类问题一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切类型1利用“垂线段最短”求最短路径问题如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案方案一：分别过C，D作AB的垂线，垂足分别为E，F，沿CE，DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC、PD铺设管道问：这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料，为什么？【思路点拨】方案一管道长为CEDF，方案二管道长为PCPD，利用垂线段最短即可比较出大小【解答】按方案一铺设管道更节省材料理由如下
2、：CEAB，DFAB，而AB与CD不垂直，根据“垂线段最短”，可知DFDP，CECP，CEDFCPDP，沿CE、DF铺设管道更节省材料本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点1(2019保定一模)如图，点A的坐标为(1，0)，点B(a，a)，当线段AB最短时，点B的坐标为( )A(0，0)B(，)C(，)D(，)2(2019杭州模拟)在直角坐标系中，点P落在直线x2y60上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为( )A. B3 C. D.3(2019内江)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，直线ykx3k4与O交于B、C两点，则弦
3、BC的长的最小值为_4(2019碑林区期中)如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据类型2利用“两点之间线段最短”求最短路径问题(2019乐陵模拟)(1)如图1，直线同侧有两点A，B，在直线MN上求一点C，使它到A、B之和最小；(保留作图痕迹不写作法)(2)知识拓展：如图2，点P在AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使PEF周长最短；(保留作图痕迹不写作法)(3)解决问题：如图3，在五边形ABCDE中，在B
4、C，DE上分别找一点M，N，使得AMN周长最小；(保留作图痕迹不写作法)若BAE125，BE90，ABBC，AEDE，AMNANM的度数为_【思路点拨】(1)根据两点之间线段最短，作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN于C，即可解决；(2)作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD交OA、OB于E、F，此时PEF周长有最小值；(3)取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，PQ的长度即为AMN的周长最小值；根据三角形的内角和等于180求出PQ，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决【解答】(1)作A关于直线MN的对称点E，
5、连接BE交直线MN于C，连接AC，BC，则此时C点符合要求图1图2 图3(2)作图如图(3)作图如图BAE125，PQ18012555.AMNPPAM2P，ANMQQAN2Q，AMNANM2(PQ)255110.“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可1(2019内江)如图，正方形ABCD的面积为12，AB
6、E是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE最小，则这个最小值为( )A. B2 C2 D.2(2019遵义)如图，在四边形ABCD中，C50，BD90，E、F分别是BC、DC上的点，当AEF的周长最小时，EAF的度数为( )A50 B60 C70 D803(2019攀枝花)如图，在边长为2的等边ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BEDE的最小值为_4(2019鄂州)如图，AOB30，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分AOB，且OP6，当PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为_5(2019凉山)菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如
7、图所示，顶点B(2，0)，DOB60，点P是对角线OC上一个动点，E(0，1)，当EPBP最短时，点P的坐标为_6(2019广元改编)如图，已知抛物线y(x2)(xm)(m0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧(1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m的值； (2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使AHCH最小，并求出点H的坐标7(2019成都改编)如图，一次函数yx4的图象与反比例y(k为常数，且k0)的图象交于A，B两点在x轴上找一点P，使PAPB的值最小，求满足条件的点P的坐标8如图所示，已知点A是半圆上的三等分点，B是的中点，P是直径MN上的一动点，
8、O的半径为1，请问：P在MN上什么位置时，APBP的值最小？并给出APBP的最小值9(2019达州)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A(0，4)、C(5，0)，二次函数yx2bxc的图象抛物线经过A，C两点(1)求该二次函数的表达式；(2)F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；(3)抛物线上是否在点P，使ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由参考答案类型1利用“垂线段最短”求最短路径问题1D2.C3.2
9、4提示：直线ykx3k4必过点D(3，4)，当BC过点D且BCOD时最小点D的坐标是(3，4)，OD5.OBOA13，根据勾股定理可得BD12.BC的长的最小值为24.4.(1)两点之间线段最短，连接AD，BC交于H，则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小(2)过H作HGEF，垂足为G.则沿HG开渠最短，根据垂线段最短类型2利用“两点之间线段最短”求最短路径问题1B2.D3.提示：作B关于AC的对称点B，连接AD、AB、BB、BD，交AC于E，此时BEEDBEEDBD，根据两点之间线段最短可知BD就是BEED的最小值，B、B关于AC对称，AC、BB互相垂直平分四边形ABCB是平行四边形三角
10、形ABC是边长为2，D为BC的中点，ADBC.AD，BDCD1，BB2AD2，作BGBC的延长线于G，BGAD，在RtBBG中，BG3.DGBGBD312.在RtBDG中，BD.故BEED的最小值为.4.36545.(23，2)6.(1)抛物线过点G(2，2)时，(22)(2m)2，即m4.(2)m4，y(x2)(x4)令y0，则(x2)(x4)0，解得x12，x24.A(2，0)，B(4，0)抛物线对称轴为直线x1.令x0，则y2，C(0，2)B点与A点关于对称轴对称，连接BC，BC与对称轴的交点便为所求点H.B(4，0)，C(0，2)，求得线段BC所在直线为yx2.当x1时，y，H(1，)
11、7.联立解得或A(1，3)，B(3，1)B点关于x轴的对称点B坐标为(3，1)，连接AB交x轴于点P，连接BP.设直线AB为ykxb，联立得解得y2x5.令y0，得x.P(，0)即满足条件的P的坐标为(，0)8.作A关于MN的对称点A，根据圆的对称性，则A必在圆上，连接BA交MN于P，连接PA，则PAPB最小，此时PAPBPAPBAB.连接OA、OA、OB，AONAON60.，BONAON30.AOB90.AB，即APBP的最小值是.9.(1)将A(0，4)、C(5，0)代入二次函数yx2bxc，得解得二次函数的表达式yx2x4.(2)延长EC至E，使ECEC，延长DA至D，使DADA，连接D
12、E，交x轴于F点，交y轴于G点，连接DG，EF，DE，GDGD，EFEF，(DGGFEFED)最小DEDE，由E点坐标为(5，2)，D(4，4)，得D(4，4)，E(5，2)由勾股定理，得DE，DE3，(DGGFEFED)最小DEDE3，即四边形DEFG周长的最小值为3.(3)如下图：OD4.SODP12.点P到OD的距离3.过点O作OFOD，取OF3，过点F作直线FGOD，交y轴于G点，交抛物线于点P1，P2，在RtOGF中，OG6.直线GF的解析式为yx6.将yx6代入yx2x4得：x6x2x4.解得x1，x2.将x1，x2的值代入yx6得：y1，y2.点P1(，)，P2(，)如下图所示：过点O作OFOD，取OF3，过点F作直线FG，交y轴于G点，交抛物线于P3，P4，在RtGFO中，OG6.直线FG的解析式为yx6.将yx6代入yx2x4得：x6x2x4.解得x1，x2.y1x16，y2x26，P3(，)，P4(，)综上所述：点P的坐标为(，)或(，)或(，) 或(，)
